Produit vectoriel/Applications géométriques

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Aire d'un triangle

Début d’un théorème

Théorème

Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, l'aire d'un triangle ABC quelconque vaut :

${\mathcal {A}}_{ABC}={\frac {\|{\overrightarrow {AB}}\wedge {\overrightarrow {AC}}\|}{2}}$.

Fin du théorème

Rotation

Proposition

Soient $E$ euclidien orienté de dimension 3 et $u$ la rotation d'axe orienté par un vecteur unitaire $k$ et d'angle $\theta$. Alors, pour tout $x\in E$ :

• $u(x)=(\cos \theta )\,x+\sin \theta \,(k\land x)+(1-\cos \theta )\langle x,k\rangle k$ ;
• si $x$ n'est pas colinéaire à $k$, le signe du produit mixte $[x,u(x),k]$ est égal au signe de $\sin \theta$.

Démonstration

Soit $v(x)$ donné par la formule, alors $v(k)=k=u(k)$, et pour tout $x\perp k,v(x)=\cos \theta x+\sin \theta (k\land x)=u(x)$, donc $v=u$.

D'où $[x,u(x),k]=[x,(\cos \theta )x+\sin \theta (k\land x)+(1-\cos \theta )\langle x,k\rangle k,k]=[x,\sin \theta (k\land x),k]=\langle k\land x,\sin \theta (k\land x)\rangle =\sin \theta \|k\land x\|^{2}$.

 

Début de l'exemple

Exemples

Soient $k\in E$ un vecteur unitaire et $u\in \mathrm {L} (E)$ définie par

$\forall x\in E\quad u(x)=\langle x,k\rangle k+k\land x$. Montrer que $u$ est une rotation, dont on précisera l'axe et l'angle.

Solution

$u(k)=k$ et pour tout $x\perp k$, $u(x)=k\land x$. Donc $u$ est la rotation d'axe orienté par $k$ et d'angle $\pi /2$.

 

Soit $u\in \mathrm {L} (\mathbb {R} ^{3})$ de matrice (dans la base canonique)

$U:={\frac {1}{7}}{\begin{pmatrix}2&6&-3\\-6&3&2\\3&2&6\end{pmatrix}}$.

Montrer que $u$ est une rotation, dont on déterminera l'axe et l'angle.

Solution

On vérifie facilement que $U$ est orthogonale directe et $\ker(u-\mathrm {id} )=\mathbb {R} k$ avec $k=(0,1/{\sqrt {5}},2/{\sqrt {5}})$, donc $u$ est une rotation d'axe $\mathbb {R} k$, et il existe un unique $\theta {\pmod {2\pi }}$ vérifiant la formule précédente pour tout $x$.

Soit $x:=(0,2,-1)\perp k$, alors $(15,2,-2)/7=u(x)=\cos \theta x+\sin \theta (k\land x)=\cos \theta (0,2,-1)+\sin \theta (-{\sqrt {5}},0,0)$, d'où $\sin \theta =-3{\sqrt {5}}/7,\cos \theta =2/7$.

 

Donner (en fonction de $a,b,c,\theta$) la matrice (dans la base canonique) de la rotation $u$ d'axe orienté par un vecteur unitaire $k=(a,b,c)$ et d'angle $\theta$.

Solution

${\begin{aligned}u(x,y,z)&=\cos \theta (x,y,z)+\sin \theta (bz-cy,cx-az,ay-bx)+(1-\cos \theta )(ax+by+cz)(a,b,c)\\&=((\cos \theta +a^{2}(1-\cos \theta ))x+(-c(\sin \theta )+ab(1-\cos \theta ))y+(b\sin \theta +ac(1-\cos \theta ))z,\\&(c\sin \theta +ab(1-\cos \theta ))x+(\cos \theta +b^{2}(1-\cos \theta ))y+(-a\sin \theta +bc(1-\cos \theta ))z,\\&(-b\sin \theta +ac(1-\cos \theta ))x+(a\sin \theta +bc(1-\cos \theta ))y+(\cos \theta +c^{2}(1-\cos \theta ))z)\end{aligned}}$,

donc $u$ a pour matrice

${\begin{pmatrix}\cos \theta +a^{2}(1-\cos \theta )&-c(\sin \theta )+ab(1-\cos \theta )&b\sin \theta +ac(1-\cos \theta )\\c\sin \theta +ab(1-\cos \theta )&\cos \theta +b^{2}(1-\cos \theta )&-a\sin \theta +bc(1-\cos \theta )\\-b\sin \theta +ac(1-\cos \theta )&a\sin \theta +bc(1-\cos \theta )&\cos \theta +c^{2}(1-\cos \theta )\end{pmatrix}}$

(pour $k=(0,0,1)$ ou pour $\theta =0$, on retrouve bien les cas connus).

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exercice

Déterminer tous les endomorphismes $f$ de $\mathbb {R} ^{3}$ (euclidien orienté) vérifiant

$\forall x,y\in \mathbb {R} ^{3}\quad f(x\land y)=f(x)\land f(y)$.

Solution

Soit $(i,j,k)$ une b.o.n. directe de $E:=\mathbb {R} ^{3}$. Pour tout $f\in {\rm {L}}(E)$, les deux applications $u:(x,y)\mapsto f(x\land y)$ et $v:(x,y)\mapsto f(x)\land f(y)$ sont bilinéaires antisymétriques, donc sont égales si et seulement si elles coïncident sur $\{(i,j),(j,k),(k,i)\}$.

Le problème revient donc à déterminer les $(i',j',k')\in E^{3}$ tels que $k'=i'\land j',i'=j'\land k',j'=k'\land i'$. Ceci équivaut à : $i'=j'=k'=0$ ou $(i',j',k')$ b.o.n. directe.

Les solutions $f$ sont donc $0$ et les rotations.

 

Fin de l'exemple