Phénomènes d'induction/Exercices/Induction mutuelle, induction propre

{Solénoïde, Spire}

Soit un solénoïde infiniment long, de rayon R, d'axe (Oz) comportant n spires par unité de longueur, chacune étant parcourue par un courant d'intensité I orientée en concordance avec ${\vec {z}}$.

Soit une spire carrée de côté a>2R, d'axe (Oz), parcourue par une intensité i orientée en accord avec $-{\vec {z}}$.

• Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
• Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.

Solution

• Calculer le coefficient d'induction propre d'une longueur λ de solénoïde.
  • Dans le solénoïde, il règne un champ ${\vec {B}}=\mu _{0}In{\vec {u}}_{z}$
  • Le flux de ${\vec {B}}$ à travers une spire Σ orientée en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$ vaut $\Phi _{\Sigma }=\pi R^{2}\mu _{0}In$
  • Par définition, le flux Φ à travers une longueur λ de solénoïde vaut Φ = I L. Or, Φ = λ n Φ_Σ

$L=\mu _{0}\pi \lambda R^{2}n^{2}$

• Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {solénoïde, spire}.
• On note Σ la surface de la spire carrée, orientée en concordance avec i
  • $\Phi _{2\rightarrow 1}=\int _{\Sigma }{\vec {B}}.{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=-\pi R^{2}\mu _{0}nI$
  • Par définition, $\Phi _{2\rightarrow 1}=MI$

$M=-\mu _{0}n\pi ~R^{2}$

 

{Fil,Tore}

Soit un fil rectiligne infiniment long, concordant avec (Oz), parcouru par une intensité I.

Soit le tore de centre O engendré par la rotation autour du fil d'un carré de côtés parallèles ou orthogonaux à l'axe, de longueur a, le côté le plus proche étant situé à la distance a de l'axe. Sur le tore sont bobinées N spires parcourues par une intensité i orientée en concordance avec le vecteur ${\vec {u}}_{\theta }$ de la base cylindrique.

• Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.
• Calculer le coefficient d'induction propre du tore.
• Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.

Solution

1. Calculer le champ magnétique créé par le fil en tout point de l'espace.

En un point M de l'espace séparé de (Oz) d'une distance r, le champ magnétostatique ${\vec {B}}$ engendré par le fil vaut ${\vec {B}}_{f}(M)={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}{\vec {u}}_{\theta }$

Voir le cours de magnétostatique pour avoir le détail du calcul.

2. Calculer le coefficient d'induction propre du tore.

La résolution de cette question se fait en plusieurs étapes :

• Calcul du champ ${\vec {B}}_{t}$ engendré par le tore en tout point intérieur au tore
• Calcul du flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers le tore
• Écriture de la définition de L pour trouver son expression littérale
• Calcul du champ ${\vec {B}}_{t}$ engendré par le tore en tout point intérieur au tore

On se place en coordonnées cylindriques.

• Le plan (MOz) est plan de symétrie du système donc ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r,\theta ,z){\vec {u}}_{\theta }$
• À l'intérieur du tore, le champ ne dépend pas de z donc ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r,\theta ){\vec {u}}_{\theta }$
• Le système est de révolution autour de (Oz), donc les lignes du champ magnétique sont des cercles : ${\vec {B}}_{t}(M)=B_{t}(r){\vec {u}}_{\theta }$

On utilise alors le théorème d'Ampère pour trouver l’expression de ${\vec {B}}_{t}$ :

• On choisit pour contour d'Ampère un cercle Γ centré sur (Oz), orienté en concordance avec ${\vec {u}}_{z}$, de rayon $r\in ]a,2a[$
• On applique le théorème d'Ampère :

${\begin{aligned}\mu _{0}Ni&=\oint _{\Gamma }{\vec {B}}_{t}(M).\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=B_{t}(r)\oint _{\Gamma }\mathrm {d} l\end{aligned}}$

Donc $B_{t}(r)={\frac {\mu _{0}Ni}{2\pi r}}$ tant que $r\in ]a,2a[$

• Calcul du flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers le tore :

On note $\Sigma$ la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers Σ vaut :

${\begin{aligned}\Phi _{\Sigma }&=\iint _{\Sigma }{\vec {B}}_{t}(M).{\overrightarrow {{\rm {d}}^{2}S}}\\&=\int _{r=a}^{r=2a}\int _{z=-{\frac {a}{2}}}^{z={\frac {a}{2}}}{\frac {\mu _{0}Ni}{2\pi r}}\mathrm {d} z\mathrm {d} r\\&={\frac {\mu _{0}Nia}{2\pi }}\left[\ln(r)\right]_{r=a}^{r=2a}\\&={\frac {\mu _{0}Nia\ln(2)}{2\pi }}\end{aligned}}$

Le tore est en réalité composé de N spires.

Le flux de ${\vec {B}}_{t}$ à travers le tore vaut $\Phi ={\frac {\mu _{0}N^{2}ia}{2\pi }}\ln(2)$

• Expression de L :

Par définition de L : Φ=iL.

Finalement $L={\frac {\mu _{0}aN^{2}}{2\pi }}\ln(2)$

• 3. Calculer le coefficient d'induction mutuelle du système {fil, tore}.

Par définition, le coefficient d'induction mutuelle est tel que $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}=MI$. Il suffit de calculer $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}$.

On note $\Sigma$ la surface d'une spire du tore, orientée en concordance avec i. Le flux de ${\vec {B}}_{f}$ à travers Σ vaut :

${\begin{aligned}\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow \Sigma }&=\iint _{\Sigma }{\vec {B}}_{f}(M).{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S}}\\&=\int _{r=a}^{r=2a}\int _{z=-{\frac {a}{2}}}^{z={\frac {a}{2}}}{\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}\mathrm {d} z\mathrm {d} r\\&={\frac {\mu _{0}Ia\ln(2)}{2\pi }}\end{aligned}}$

Le tore est en réalité composé de N spires : $\Phi _{{\textrm {fil}}\rightarrow {\textrm {tore}}}={\frac {\mu _{0}NIa\ln(2)}{2\pi }}$

Finalement $M={\frac {\mu _{0}aN}{2\pi }}\ln(2)$

Les deux inductances diffèrent d'un facteur N.