Phénomènes d'induction/Énergie magnétique

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Énergie magnétique d'un circuit dans un champ extérieur

Travail des forces électromagnétiques au cours d'un déplacement

On dispose d'une spire Г parcourue par un courant I dans un champ magnétique ${\vec {B}}$. On suppose que tout point P de Г se déplace de façon infinitésimale d'un vecteur ${\overrightarrow {\mathrm {d} P}}$. Le travail élémentaire des forces électromagnétiques sur Г vaut

${\begin{aligned}d\tau &=\oint _{\Gamma }I(\mathrm {d} {\vec {l}}\wedge {\vec {B}}).{\overrightarrow {\mathrm {d} P}}\\&=\oint _{\Gamma }I({\overrightarrow {\mathrm {d} P}}\wedge \mathrm {d} {\vec {l}}).{\vec {B}}\\&=\oint _{\Gamma }I{\overrightarrow {\mathrm {d} ^{2}S_{c}}}.{\vec {B}}\\&=I~\oint _{\Gamma }\mathrm {d} ^{2}\Phi _{c}=I~\mathrm {d} \Phi _{c}\end{aligned}}$

Début d’un théorème

Théorème de Maxwell

• dτ = I dФ
• Si I reste constant, entre une position initiale où le flux de ${\vec {B}}$ à travers Г vaut Ф₁ et une position finale où le flux de ${\vec {B}}$ à travers Г vaut Ф₂, le travail vaut τ = I (Ф₂-Ф₁)

Fin du théorème

Énergie potentielle

Définition

On peut définir l'énergie potentielle magnétique $E_{pm}=-I~\Phi$.

Elle correspond à l'énergie dépensée par un opérateur pour amener Г à sa position actuelle depuis l'infini.

Règle du flux maximum

Début d’un principe

Règle du flux maximum

Le système évolue toujours vers une diminution de son énergie potentielle, c'est-à-dire vers un flux maximum.

Fin du principe

Énergie magnétique d'un système de deux courants

Début d’un principe

Dispositif

On considère un système de deux boucles de courant Г₁ et Г₂, parcourues respectivement par des courants I₁ et I₂. Les flux et les courants sont reliés par la relation matricielle

${\begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}&M\\M&L_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\end{pmatrix}}$

Fin du principe

• On cherche à déterminer l'énergie magnétique de ce système de courants. Pour ce faire, on suppose partir des intensités nulles pour arriver à I₁ et I₂
• L'« état des courants » à l'instant t est quantifiée par un réel $\alpha \in [0;1]$ tel que :

${\begin{cases}i_{1}=\alpha I_{1}\\i_{2}=\alpha I_{2}\end{cases}}$

• Les flux à l'instant t valent alors :

${\begin{cases}\varphi _{1}=\alpha \Phi _{1}\\\varphi _{2}=\alpha \Phi _{2}\end{cases}}$

• Les circuits étant fermés, la loi de Faraday assure l'apparition de forces électromotrices induites valant :

${\begin{cases}e_{1}=\displaystyle {-{\frac {\mathrm {d} \varphi _{1}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}\Phi _{1}}\\e_{2}=\displaystyle {-{\frac {\mathrm {d} \varphi _{2}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}\Phi _{2}}\\\end{cases}}$

• On exprime alors la puissance ${\mathcal {P}}$ fournie par les générateurs de courant :

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}&=-e_{1}i_{1}-e_{2}i_{2}\\&={\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}(\Phi _{1}i_{1}+\Phi _{2}i_{2})\\&=\alpha {\frac {\mathrm {d} \alpha }{\mathrm {d} t}}(\Phi _{1}I_{1}+\Phi _{2}I_{2})\end{aligned}}$

• On peut alors relier la puissance à l'énergie fournie par les générateurs :

$\mathrm {d} W={\mathcal {P}}\mathrm {d} t=\alpha (\Phi _{1}I_{1}+\Phi _{2}I_{2})\mathrm {d} \alpha$

• On intègre pour $\alpha \in [0;1]$

$W={\frac {1}{2}}(\Phi _{1}I_{1}+\Phi _{2}I_{2})$

Finalement, l'énergie magnétique de ce système de deux courants vaut $W={\frac {1}{2}}L_{1}I_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}L_{2}I_{2}^{2}+MI_{1}I_{2}$