Phénomènes d'induction/Énergie magnétique

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Énergie magnétique d'un circuit dans un champ extérieur

Travail des forces électromagnétiques au cours d'un déplacement

On dispose d'une spire Г parcourue par un courant I dans un champ magnétique $\overrightarrow{B}$. On suppose que tout point P de Г se déplace de façon infinitésimale d'un vecteur $\overrightarrow{\mathrm{d}P}$. Le travail élémentaire des forces électromagnétiques sur Г vaut

$\begin{array}{cc}d\tau & ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}I(\mathrm{d}\overrightarrow{l}\wedge \overrightarrow{B}).\overrightarrow{\mathrm{d}P}\\ & ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}I(\overrightarrow{\mathrm{d}P}\wedge \mathrm{d}\overrightarrow{l}).\overrightarrow{B}\\ & ={\oint }_{\mathrm{\Gamma }}I\overrightarrow{{\mathrm{d}}^2{S}_c}.\overrightarrow{B}\\ & =I{\oint }_{\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}}^2{\mathrm{\Phi }}_c=I\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_c\end{array}$

Début d’un théorème

Théorème de Maxwell

• dτ = I dФ
• Si I reste constant, entre une position initiale où le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers Г vaut Ф₁ et une position finale où le flux de $\overrightarrow{B}$ à travers Г vaut Ф₂, le travail vaut τ = I (Ф₂-Ф₁)

Fin du théorème

Énergie potentielle

Définition

On peut définir l'énergie potentielle magnétique $E_{pm}=-I\mathrm{\Phi }$.

Elle correspond à l'énergie dépensée par un opérateur pour amener Г à sa position actuelle depuis l'infini.

Règle du flux maximum

Début d’un principe

Règle du flux maximum

Le système évolue toujours vers une diminution de son énergie potentielle, c'est-à-dire vers un flux maximum.

Fin du principe

Énergie magnétique d'un système de deux courants

Début d’un principe

Dispositif

On considère un système de deux boucles de courant Г₁ et Г₂, parcourues respectivement par des courants I₁ et I₂. Les flux et les courants sont reliés par la relation matricielle

$\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\\ {\phi }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{L}_1& M\\ M& L_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right)$

Fin du principe

• On cherche à déterminer l'énergie magnétique de ce système de courants. Pour ce faire, on suppose partir des intensités nulles pour arriver à I₁ et I₂
• L'« état des courants » à l'instant t est quantifiée par un réel $\alpha \in [0;1]$ tel que :

$\{\begin{array}{c}{i}_1=\alpha I_1\\ i_2=\alpha I_2\end{array}$

• Les flux à l'instant t valent alors :

$\{\begin{array}{c}{\phi }_1=\alpha {\mathrm{\Phi }}_1\\ {\phi }_2=\alpha {\mathrm{\Phi }}_2\end{array}$

• Les circuits étant fermés, la loi de Faraday assure l'apparition de forces électromotrices induites valant :

$\{\begin{array}{c}{e}_1=-\frac{\mathrm{d}{\phi }_1}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}{\mathrm{\Phi }}_1\\ e_2=-\frac{\mathrm{d}{\phi }_2}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}{\mathrm{\Phi }}_2\end{array}$

• On exprime alors la puissance $𝒫$ fournie par les générateurs de courant :

$\begin{array}{cc}𝒫& =-e_1{i}_1-e_2{i}_2\\ & =\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}({\mathrm{\Phi }}_1{i}_1+{\mathrm{\Phi }}_2{i}_2)\\ & =\alpha \frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d}t}({\mathrm{\Phi }}_1{I}_1+{\mathrm{\Phi }}_2{I}_2)\end{array}$

• On peut alors relier la puissance à l'énergie fournie par les générateurs :

$\mathrm{d}W=𝒫\mathrm{d}t=\alpha ({\mathrm{\Phi }}_1{I}_1+{\mathrm{\Phi }}_2{I}_2)\mathrm{d}\alpha$

• On intègre pour $\alpha \in [0;1]$

$W=\frac{1}{2}({\mathrm{\Phi }}_1{I}_1+{\mathrm{\Phi }}_2{I}_2)$

Finalement, l'énergie magnétique de ce système de deux courants vaut $W=\frac{1}{2}{L}_1{I}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{I}_2^2+M{I}_1{I}_2$