Leçons de niveau 14

Oscillateurs/Oscillations amorties par un frottement fluide

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Oscillations amorties par un frottement fluide
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Chapitre no 2
Leçon : Oscillateurs
Chap. préc. :Oscillateur harmonique
Chap. suiv. :Oscillations forcées
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Oscillateurs/Oscillations amorties par un frottement fluide
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Équation du mouvement[modifier | modifier le wikicode]

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement .

On applique le principe fondamental de la dynamique et on projette sur l'axe horizontal :

On réécrit cette équation sous la forme canonique suivante :

avec et .

C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.

Régimes de fonctionnement[modifier | modifier le wikicode]

L'équation caractéristique de l'équation différentielle est :

Le discriminant Δ est :

Son signe détermine la nature du régime de fonctionnement.

Amortissement fort[modifier | modifier le wikicode]

Considérons le cas Δ > 0, l'équation caractéristique admet alors deux racines réelles négatives :

La solution générale est de la forme :

On détermine les constantes A et B à l'aide des conditions initiales. Le régime est apériodique et consiste en un retour vers la position d'équilibre sans oscillation.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Amortissement faible[modifier | modifier le wikicode]

Considérons le cas Δ < 0, les racines de l'équation caractéristique sont alors complexes et conjuguées :

avec

La solution générale est de la forme :

On détermine les constantes A et φ à l'aide des conditions initiales. Le régime est pseudo-périodique et consiste en une oscillation sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps.

La pseudo période est :

La période est toujours supérieure à la pseudo période T0 : T > T0

Si l'amortissement est très faible et alors

Amortissement critique[modifier | modifier le wikicode]

Le cas intermediaire est le cas où Δ = 0, ce qui correspond à β = ω0. L'équation caractéristique admet alors une racine double r = ω0 . La solution générale de l'équation différentielle est :

Cette situation correspond au retour à l'équilibre sans oscillations le plus rapide.