Leçons de niveau 16

Nombres ordinaux transfinis

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Les nombres ordinaux transfinis sont des nombres qui servent à compter au-delà de l'infini des nombres « classiques. »

Notion de cardinal et d'ordinal[modifier | modifier le wikicode]

Un nombre cardinal sert à dénombrer un ensemble, tandis qu'un nombre ordinal sert à spécifier le rang d'un objet au sein de cet ensemble au préalable ordonné. Par exemple, le cardinal de l’ensemble des nombres entiers naturels (0, 1, 2, 3, ...) est (prononcé « aleph 0 »).

Compter au-delà de l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Le plus petit nombre ordinal transfini est (oméga minuscule). Il correspond à l’ensemble des nombres entiers naturels ordonné « naturellement. »

Ainsi, après 0, 1, 2, 3, ... viennent ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + ...

Mais rien ne nous empêche de continuer plus loin. Après ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + ... vient logiquement ω + ω, qu'on note ω2 (lire « oméga deux »).

Puis, après ω2 vient ω2 + 1, ω2 + 2, ω2 + 3, ω2 + ... et ainsi ω3, puis ω4, puis ω5 ; et si l’on continue encore on tombera sur ω × ω, qu'on note ω2.

Mais ne nous arrêtons pas là et continuons : après ω2 vient ω2 + 1, ω2 + 2, ω2 + ... puis ω2 + ω.

Plus loin, on trouve ω2 + ω2, qu'on note ω22. Après quoi arrivent ω23, ω24, ..., puis ω2ω, c'est-à-dire ω3.

Mais on peut toujours continuer. Après ω3 vient ω4, ω5, ω... puis tout naturellement ωω ; qui pourra de toute façon encore être agrandi en ωωω puis en ωωωω, ωωωωω, et ainsi de suite...