Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Vitesses de libération

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Première vitesse cosmique

Définition

La première vitesse cosmique est la vitesse d'un satellite en orbite rasante autour de la Terre.

Elle est déterminée par la relation

${\frac {v_{1}^{2}}{R}}={\frac {GM}{R^{2}}}$,

où :

• ${R}\$ est le rayon de l'orbite, assimilé au rayon terrestre (6 370 km, bien qu'en en réalité une orbite n'échappe aux frottements de l'atmosphère que si elle est à une altitude supérieure à 200 kilomètres),
• ${M}\$ est la masse de la Terre (environ 6 × 10²⁴ kg),
• ${G}\$ est la constante de gravitation.

Cette relation signifie que la force de gravitation exercée par la Terre ($GMm/R^{2}$, m étant la masse de la fusée) est exactement compensée par la force centrifuge ($mv_{1}^{2}/R$) de la fusée quand celle-ci est en orbite circulaire.

La première vitesse cosmique vaut ainsi

$v_{1}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}$

soit environ

$v_{1}\simeq 7,\!9\;{\rm {km}}\cdot {\rm {s}}^{-1}\simeq 28\,500\;{\rm {km}}\cdot {\rm {h}}^{-1}$.

Deuxième vitesse cosmique

Définition

La deuxième vitesse cosmique ou vitesse de libération est la vitesse d'un corps pouvant s’éloigner définitivement de la Terre.

Le corps peut s'éloigner de la Terre lorsqu’il n'est plus dans un état lié, ce qui correspond au cas où l'énergie mécanique est nulle :

$E_{m}=0={1 \over 2}mv_{2}^{2}-G{mM \over R}$

et donc :

${\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {GM}{R}}$

La deuxième vitesse cosmique vaut ainsi :

$v_{2}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}={\sqrt {2}}\,v_{1}$

soit environ

$v_{2}\simeq 11,\!2\;{\rm {km}}\cdot {\rm {s}}^{-1}\simeq 40\,300\;{\rm {km}}\cdot {\rm {h}}^{-1}$.

À noter qu'ici, il n'y a pas d'ambiguité sur la quantité R qui correspond au rayon terrestre, puisque c’est de là qu'est lancée la fusée, contrairement à la première vitesse cosmique où la quantité R était censée représenter le rayon d'une orbite basse, légèrement supérieur (d'environ 3%) au rayon terrestre. La vitesse de libération augmente avec la compacité de l'objet, c'est-à-dire son rapport M/R. Par exemple, celle de Jupiter est de 59,5 km/s.

Troisième vitesse cosmique

Définition

La troisième vitesse cosmique est la vitesse de libération d’un corps quittant le système solaire depuis l'orbite terrestre.

Elle est déterminée de la même façon que la seconde vitesse cosmique, si ce n'est qu’il faut tenir compte de l'énergie potentielle de gravitation de la Terre et du Soleil, et du fait que la Terre est elle-même animée d'une certaine vitesse v_T sur son orbite. Ainsi,

${\frac {(v_{3}+v_{\rm {T}})^{2}}{2}}={\frac {GM_{\odot }}{d}}+{\frac {GM}{R}}$,

où :

• ${d}\$ correspondant à la distance Terre-Soleil, soit une unité astronomique (environ 150 millions de kilomètres) et,
• ${M_{\odot }}$ correspond à la masse du Soleil.

Or la vitesse de la Terre sur son orbite correspond à la première vitesse cosmique du Soleil pour une distance d'une unité astronomique, soit

$v_{\rm {T}}={\sqrt {\frac {GM_{\odot }}{d}}}$.

Par conséquent :

$v_{3}={\sqrt {{\frac {2GM_{\odot }}{d}}+{\frac {2GM}{R}}}}-{\sqrt {\frac {GM_{\odot }}{d}}}$

L'application numérique donne alors

$v_{3}\simeq 13,\!8\;{\rm {km}}\cdot {\rm {s}}^{-1}\simeq 49\,800\;{\rm {km}}\cdot {\rm {h}}^{-1}$.