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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Mouvement à force centrale et potentiel newtonien : Obtention de la trajectoire Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Obtention de la trajectoire », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
En utilisant la seconde loi de Newton, on a dans le cas d'une force attractive :
m
a
→
=
−
K
⋅
1
r
2
e
r
→
{\displaystyle m{\vec {a}}=-K\cdot {\frac {1}{r^{2}}}\;{\vec {e_{r}}}}
.
En insérant l’expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u , puis enfin en projetant selon er , on a :
−
m
C
2
u
2
(
d
2
u
d
θ
2
+
u
)
=
−
K
r
2
=
−
K
u
2
{\displaystyle -mC^{2}u^{2}\left({d^{2}u \over d\theta ^{2}}+u\right)=-{K \over r^{2}}=-Ku^{2}}
, soit encore :
d
2
u
d
θ
2
+
u
=
+
K
m
C
2
{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=+{\frac {K}{mC^{2}}}}
.
La solution de cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique à laquelle on ajoute une solution particulière. On obtient :
u
(
θ
)
=
K
m
C
2
+
A
cos
(
θ
+
ϕ
)
=
K
+
A
m
C
2
cos
(
θ
+
ϕ
)
m
C
2
{\displaystyle u(\theta )={\frac {K}{mC^{2}}}+A\cos(\theta +\phi )={K+AmC^{2}\cos(\theta +\phi ) \over mC^{2}}}
.
En revenant à l’expression de r , on a :
r
(
θ
)
=
m
C
2
K
+
A
m
C
2
cos
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle r(\theta )={mC^{2} \over K+AmC^{2}\cos(\theta +\phi )}}
r
(
θ
)
=
m
C
2
K
1
+
A
m
C
2
K
cos
(
θ
+
ϕ
)
{\displaystyle r(\theta )={{mC^{2} \over K} \over 1+{AmC^{2} \over K}\cos(\theta +\phi )}}
On note :
p
=
m
C
2
K
{\displaystyle p={mC^{2} \over K}}
et
e
=
A
m
C
2
K
{\displaystyle e={AmC^{2} \over K}}
et on choisit
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
Et donc :
r
(
θ
)
=
p
1
+
e
cos
θ
{\displaystyle r(\theta )={p \over 1+e\cos \theta }}
C'est l’expression d'une conique en coordonnées polaires dont la nature exacte dépend des conditions initiales.