Modélisation Parité des fonctions

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Il existe une infinité de fonctions paires et impaires, certaines plus intéressantes et plus proches du réel que d'autres.

Sachant que toute fonction peut se décomposer en une paire et une impaire, qui peuvent être respectivement des combinaisons linéaires P et I de produits pairs et impairs.

Sachant que le produit de deux paires ou de deux impaires est pair, et que celui d'une paire et d'une impaires est impaire.

Il en est de même pour les échantillonnages On classera les fonctions et échantillonnages, à un coefficient multiplicateur près, en fonctions basiques qui serviront de composantes aux décompositions des échantillonnages et fonctions à modéliser :

• Choisi(e)s tel(le)s que f(0)=0, la valeur 0 de la variable étant centrale, la valeur de la fonction devenant la valeur à l'origine

$f(t)=f(0)+A*I_{impaire}(t)+B*P_{paire}(t)$

Tel que $P_{paire}(0)=0$ et l'intervalle t de définition de f centré sur $t=0$

• 4 types principaux alors se font jour :

A / celles qui fluctuent et sont bornées à l'infini ( type sin cos et produits similaires )

B / celles qui tendent vers 0 à l'infini, type ondelettes de Daubechies mais avec valeur nulle pour t=0

C / celles qui tendent vers 1 à l'infini

D / celles qui tendent asymptotiquement vers l'infini.

	A	A	B	B	C	C	C
fonctions paires	$1-cos(wt^{n})$		${\frac {t^{2k}}{(1+t^{2})^{k+1}}}(1-cos(wt^{n}))$	$e^{-ht^{2l+}}(1-cos(wt^{n}))$	${\frac {t^{2k}}{(1+t^{2})^{k}}}$	${\frac {t^{2k}}{(1+t^{2})^{k}}}cos(wt^{n})$	$t^{2h}(1-e^{-ht^{2l+}})(1-cos(wt^{n}))$	$t^{2h}(1-e^{-ht^{2l+}})$	…
fonctions impaires	$sin(wt^{m})$		${\frac {t^{2k-1}}{(1+t^{2})^{k}}}(sin(wt^{n}))$	$e^{-jt^{-2l+}}(sin(wt^{2p+1}))$	${\frac {t^{2k-1}}{(1+t^{2})^{k}}}$	${\frac {t^{2k-1}}{(1+t^{2})^{k}}}sin(wt^{m})$	$t^{2h}(1-e^{-jt^{-2l+}})(sin(wt^{2p+1}))$	$t^{2h+1}(1-e^{-jt^{-2l+}})$	…

fonctions paires	${\frac {F_{1}impaire}{F_{2}impaire}}$	${F_{1}imp}*{F_{2}imp}$	${F_{1}paire}*{F_{2}paire}$	${\frac {|t|}{t}}*F_{i}mp$	toute combinaison linéaire de produits pairs de fonctions
fonctions impaires	${\frac {F_{1}impaire}{F_{2}paire}}$	${\frac {F_{2}paire}{F_{1}impaire}}$	${F_{1}imp}*{F_{2}paire}$	${\frac {|t|}{t}}*F_{p}aire$	toute combinaison linéaire de produits impairs de fonctions

couple de fonctions	3 données $(x_{i},y_{i})$ $i=-1,0,1$	5 données$i=-2,-1,0,1,2$	7 données	9 données
$sin|cos$	$y_{0}+w_{1}sin(w_{1})+w_{2}(1-cos(w_{2}))$	$y_{0}+Ssin(w_{1})+C(1-cos(w_{2}))$	$y_{0}+Se^{-st^{2}}sin(w_{1})+Ce^{-ct^{2}}(1-cos(w_{2}))$	$y_{0}+S_{1}sin(w_{1})+S_{3}sin(w_{3})+C_{2}(1-cos(w_{2}))+C_{4}(1-cos(w_{4}))$