Mathématiques en troisième/Exercices/Calcul rapide 2

Cette page est constituée de séries de calculs rapides à faire en début de séance pour entretenir les connaissances de collège.

Exercice 2-1

• Simplifier : ${\frac {x^{7}}{x^{5}}}=$
• Déterminer l'image de 2 par la fonction f définie par $f(x)=x^{2}+3$.
• Réduire : ${\frac {1}{2}}x+5x=$
• Développer puis réduire : $(x+{\frac {1}{2}})\times (x+3)=$
• Augmenter un nombre de 120% revient à le multiplier par :

Solution

• ${\frac {x^{7}}{x^{5}}}=x^{7-5}=x^{2}$
• $f(2)=2^{2}+3=7$
• ${\frac {1}{2}}x+5x={\frac {11}{2}}x$
• $(x+{\frac {1}{2}})\times (x+3)=x^{2}+{\frac {1}{2}}x+3x+{\frac {3}{2}}=x^{2}+{\frac {7}{2}}x+{\frac {3}{2}}$
• 2,20 ou 2,2

 

Exercice 2-2

• Simplifier : ${\frac {x^{5}}{x^{7}}}=$
• Déterminer l'image de $-2$ par la fonction f définie par $f(x)=x^{2}-3$.
• Réduire : $-{\frac {1}{3}}x+3x=$
• Développer puis réduire : $(x-2)\times ({\frac {1}{3}}+x)=$
• Augmenter un nombre de 20% puis à nouveau de 10% revient à l'augmenter de :

Solution

• ${\frac {x^{5}}{x^{7}}}=x^{5-7}=x^{-2}$
• $f(-2)=(-2)^{2}-3=1$
• $-{\frac {1}{3}}x+3x={\frac {8}{3}}x$
• $(x-2)\times ({\frac {1}{3}}+x)=$
• 32% (et non 30% !)

 

Exercice 2-3

• Simplifier ${\frac {x^{5}}{x^{-7}}}=$
• Déterminer l'image de $-2$ par la fonction f définie par $f(x)={\frac {1}{x-3}}$.
• Réduire : ${\frac {2}{3}}\times x\times 4=$
• Développer puis réduire : $(2x+3)\times (x-{\frac {2}{3}})=$
• Augmenter un nombre de 5% puis diminuer le résultat de 5% revient à ... :

Solution

• ${\frac {x^{5}}{x^{-7}}}=x^{5+7}=x^{12}$
• $f(-2)={\frac {1}{-2-3}}=-{\frac {1}{5}}$
• ${\frac {2}{3}}\times x\times 4={\frac {8}{3}}x$
• $(2x+3)\times (x-{\frac {2}{3}})=2x^{2}-{\frac {4}{3}}x+3x-2=2x^{2}+{\frac {5}{3}}x-2$
• $1,05\times 0,95=0,9975$ : le diminuer de 0,25%

 

Exercice 2-4

• $x^{5}\times x^{5}=$
• Déterminer l'image de $0$ par la fonction f définie par $f(x)={\frac {1}{x-3}}$.
• Réduire : ${\frac {5}{3}}\times x\times (-{\frac {5}{2}})=$
• Développer puis réduire : $(-3x-5)\times (-{\frac {5}{2}}x-1)=$
• Diminuer un nombre de 20% puis augmenter le résultat de 20% de revient à :

Solution

• $x^{5}\times x^{5}=(x\times x)^{5}=(x^{2})^{5}=x^{10}$ ou bien $x^{5}\times x^{5}=x^{5+5}=x^{10}$
• $f(0)={\frac {1}{0-3}}=-{\frac {1}{3}}$.
• ${\frac {5}{3}}\times x\times (-{\frac {5}{2}})=-{\frac {25}{6}}\times x$
• $(-3x-5)\times (-{\frac {5}{2}}x-1)={\frac {15}{2}}x^{2}+3x+{\frac {25}{2}}x+5={\frac {15}{2}}x^{2}+{\frac {31}{2}}x+5$
• $0,8\times 1,2=0,96$ : le diminuer de 4%.

 

Exercice 2-5

• Simplifier : ${\frac {x^{5}}{x^{5}}}=$
• Déterminer les antécédents de $0$ par la fonction f définie par $f(x)=x-3$.
• Simplifier : $-(-3x)^{2}=$
• Factoriser : $x^{2}+x+{\frac {1}{4}}$.
• Diminuer un nombre de 100% revient à le multiplier par :

Solution

• ${\frac {x^{5}}{x^{5}}}=1$
• $x-3=0$ ssi $x=3$.
• $-(-3x)^{2}=-(-3)^{2}\times x^{2}=-9x^{2}$
• $x^{2}+x+{\frac {1}{4}}=(x+{\frac {1}{2}})^{2}$
• 0

 

Exercice 2-6

• $(x^{5})^{2}$
• Déterminer les antécédents de $1$ par la fonction f définie par $f(x)=2x-3$.
• Simplifier : $-(-x)^{2}=$
• Factoriser : $x^{2}+x$
• Combien de fois faut-il augmenter successivement une quantité de 20% pour la doubler ?

Solution

• $(x^{5})^{2}=x^{5\times 2}=x^{10}$
• $2x-3=1$ ssi $2x=4$ ssi $x=2$
• $-(-x)^{2}=-x^{2}$
• $x^{2}+x=x(x+1)$
• 4 fois (et non 5!)

 

Exercice 2-7

• Simplifier : $x^{5^{2}}$
• Donner l' écriture scientifique de : 0,931.
• Factoriser: $x^{2}-x$
• Prendre 5% d'un nombre puis 5% du résultat revient à : :
• Déterminer les antécédents de $-1$ par la fonction f définie par $f(x)=2x+5$.

Solution

• $x^{5^{2}}=x^{25}$
• $0,931=9,31\times 10^{-1}$
• $x^{2}-x=x(x-1)$
• $0,05\times 0,05=0,0025$ : Prendre 0,25% du nombre.
• $2x+5=-1$ ssi $2x=-6$ ssi $x=-3$

 

Exercice 2-8

• Simplifier : $x^{5}\times x^{-5}=$
• Factoriser : $5(x+3)+(x+3)$
• Prendre 30% d'un nombre puis ajouter 30% au résultat revient à :
• Déterminer les antécédents de $-1$ par la fonction f définie par $f(x)=x^{2}$.
• Simplifier ${\frac {\frac {4}{5}}{\frac {7}{8}}}$

Solution

• $x^{5}\times x^{-5}=x^{0}=1$
• Factoriser : $5(x+3)+(x+3)=(x+3)(5+1)=6(x+3)$
• $0,3\times 1,3=0,39$. Prendre 39% du nombre de départ.
• $x^{2}=-1$ n'a pas de solutions dans $\mathbb {R}$. Il n'y a pas d'antécédents.
• ${\frac {\frac {4}{5}}{\frac {7}{8}}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {8}{7}}={\frac {4\times 8}{5\times 7}}={\frac {32}{35}}$

 

Exercice 2-9

• Simplifier $x^{5}\times x^{-4}$
• Calculer : ${\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{4}}=$
• Déterminer les antécédents de 1 par la fonction "inverse".
• Factoriser : $(x+3)^{2}+(x+3)=$
• Quel est le plus grand : le quart du tiers ou bien le tiers du quart ?

Solution

• $x^{5}\times x^{-4}=x^{1}=x$
• ${\frac {2}{3}}\times {\frac {5}{4}}={\frac {2\times 5}{3\times 4}}={\frac {10}{12}}={\frac {5}{6}}$
• 1
• $(x+3)^{2}+(x+3)=(x+3)((x+3)+1)=(x+3)(x+4)$
• C'est pareil ${\frac {1}{4}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {1}{4}}={\frac {1}{12}}$