Mathématiques en terminale générale/Devoir/Suites récurrentes d'ordre 2

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L'abeille femelle a un père et une mère tandis que l'abeille mâle a une mère mais pas de père. On souhaite connaître le nombre $u_{n}$ d'ancêtres d'une abeille mâle $M_{0}$, présents à la n^ième génération la précédant.

Le schéma ci-dessous montre le calcul de $u_{0},\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}$.

1°  Vérifier les résultats obtenus ci-dessus.

2°  Notons $f_{n}$ le nombre d'ancêtres femelles et $m_{n}$ le nombre d’ancêtres mâles à la n^ième génération qui nous intéresse.

Vérifier que pour tout naturel n :

${\begin{cases}f_{n+1}=f_{n}+m_{n}\\m_{n+1}=f_{n}\end{cases}}$

3°  Déduisez-en que pour tout naturel n :

${\begin{cases}f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}\\m_{n+2}=m_{n+1}+m_{n}\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}$

La suite $(u_{n})$ est donc déterminée par :

${\begin{cases}u_{0}=u_{1}=1\\u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}\end{cases}}$

4°  On note (E) l'ensemble des suites définies par la donnée de $u_{0}$, de $u_{1}$, et de la relation $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$ pour tout naturel n.

a)  On cherche s'il existe des suites géométriques $(r^{n})$ appartement à (E).

Vérifier que les propositions (P₁) et (P₂) sont équivalentes :

• (P₁) : $(r^{n})$ appartient à (E).
• (P₂) : $r$ est une solution de l'équation $X^{2}-X-1=0$.

b)  Déduisez-en qu'il existe deux suites géométriques, et deux seulement, qui appartiennent à (E).

On notera $(r_{1}^{n})$ et $(r_{2}^{n})$ ces deux suites. Précisez la valeur de $r_{1}$ et celle de $r_{2}$.

c)  La suite $(u_{n})$ qui nous intéresse, appartient à (E). On cherche à écrire, pour tout naturel n,

$u_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}$,

$a$ et $b$ étant deux nombres fixes indépendants de n.

Montrez qu'il existe deux nombres $a$ et $b$, et seulement deux, tels que :

${\begin{cases}u_{0}=a+b\\u_{1}=ar_{1}+br_{2}\end{cases}}$.

Déduisez-en que pour tout naturel n :

$u_{n}=ar_{1}^{n}+br_{2}^{n}$

d)  Montrez que pour tout naturel n :

$u_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n+1}$

e)  Montrez que pour tout naturel n :

$u_{n}={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k}C_{n+1}^{k}5^{\frac {k-1}{2}}$,

L'entier $k$ prenant toutes les valeurs impaires comprises entre $1$ et $n+1$ ($k$ impair, $1\leqslant k\leqslant n+1$).

5°  Calculez $f_{n}$ et $m_{n}$.

Corrigé

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