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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites

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Exponentielles, intégrales et suites
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Devoir no16
Cours : Mathématiques en terminale générale

Devoir de niveau 13.

Dev préc. :Exponentielles, approximations et intégrales
Dev suiv. :Logarithmes, calcul d'aire et complexes
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Mathématiques en terminale générale/Devoir/Exponentielles, intégrales et suites
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On note la fonction définie sur par , et la fonction définie sur par :

.

— Ⅰ —

 Pour tout naturel , on pose :

.
Montrez que la suite est décroissante et positive.
On admettra que toute suite décroissante et positive est convergente.
On notera la limite de la suite .

 Trouvez une relation de récurrence entre et .

Déduisez-en la valeur de .


— Ⅱ —

 Étudiez les variations de selon les valeurs de .

Précisez, en particulier, les cas .

 Le plan est muni d'un repère orthonormal . On note la courbe représentant dans ce repère.

a)  En quels points la courbe a-t-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ?
b)  Déterminez, pour les valeurs de , les abscisses des points en lesquels la dérivée seconde s'annule et change de signe.
c)  Montrez que toutes les courbes ont un point commun et un seul, que l’on notera A,
que toutes les courbes , ont exactement deux points communs, A et un autre que l’on notera B,
et montrez que toutes les courbes , on exactement trois points communs A, O, et un autre que l'on notera C.
d)  Précisez la position relative de deux courbes et restreintes à .
e)  Tracez sur un même dessin les courbes , , .