Machines thermiques/Étude de quelques machines

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Les moteurs

Définitions

Définition

Un moteur est une machine thermique qui produit du travail en utilisant la chaleur provenant de la source chaude, mais une partie de cette chaleur part vers la source froide. On a ainsi par rapport au moteur M (en utilisant le convention des signes dite du banquier):

• Q₁ > 0
• Q₂ < 0
• W < 0

Un moteur se représente par le schéma suivant :

Définition

Le C.O.P. (coefficient de performance) ou rendement du moteur, noté $\rho$, est défini par $\rho =-{\frac {W}{Q_{1}}}$ C'est le rapport du travail obtenu par la chaleur fournie par la source chaude. Il est compris entre 0 et 1.

Exemple : les sources de chaleur sont des thermostats

Un thermostat est un système qui garde toujours la même température, quelle que soit la quantité de chaleur échangée. Ainsi, T₁ et T₂ sont constants. Puisqu'on a   $\delta Q=T.dS$, on en déduit:

$Q_{1}=-T_{1}.\Delta S_{\sigma _{1}}$

$Q_{2}=-T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}$

Il faut prendre garde aux signes. Q₁ et Q₂ sont comptés par rapport à M et la formule $\delta Q=T.dS$ s'applique quand Q est comptée par rapport au système dont on considère la température et la variation d'entropie.

On applique les principes de la thermodynamique à M :

• Sur un cycle réversible $\Delta S_{\sigma _{1}}=-\Delta S_{\sigma _{2}}$ d'où   $-{\frac {Q_{1}}{T_{1}}}={\frac {Q_{2}}{T_{2}}}$ ou encore   $Q_{2}=-Q_{1}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$.
• $W+Q_{1}+Q_{2}=0~$ donc   $W=-Q_{1}-Q_{2}=Q_{1}{\frac {T_{2}}{T_{1}}}-Q_{1}=Q_{1}.\left({\frac {T_{2}}{T_{1}}}-1\right)=Q_{1}.{\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{1}}}$

Début d’un théorème

Théorème de Carnot

Tous les moteurs dithermes fonctionnant entre deux sources de chaleur de températures T₁ et T₂, avec $T_{1}\geq T_{2}$, possèdent le même rendement maximal $\rho _{max}=-{\frac {W}{Q_{1}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{1}}}~$, celui-ci étant atteint pour un fonctionnement réversible de la machine.

Fin du théorème

Remarque : plus la source chaude est chaude et plus la source froide est froide, meilleur est le rendement.

Exemple: La source chaude est de l'eau

On considère toujours la source froide comme un thermostat, mais la source chaude est maintenant un volume V d'eau à la température initiale T_1,0. Cette fois, la température de la source chaude n’est pas constante et tend vers la température de la source froide, supposée constante.

On a, comme précédemment, $-Q_{2}=T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}$.

Par contre, c’est faux pour $\sigma _{1}$, car T₁ n’est pas constant. On a en revanche $-\delta Q_{1}=c_{p}.dT_{1}=T_{1}.dS_{\sigma _{1}}~$

D'où   $dS_{\sigma _{1}}=c_{p}.{\frac {dT_{1}}{T_{1}}}$

En intégrant,   $\Delta S_{\sigma _{1}}=\int _{T_{1,0}}^{T_{2}}c_{p}.{\frac {dT_{1}}{T_{1}}}=c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}$

Or, on a   $\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0$ d'où $c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}-{\frac {Q_{2}}{T_{2}}}=0$ donc $Q_{2}=T_{2}.c_{p}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}$

Or $-\delta Q_{1}=c_{p}.dT_{1}$ donc $-Q_{1}=c_{p}.(T_{2}-T_{1,0})$ donc $c_{p}={\frac {Q_{1}}{T_{1,0}-T_{2}}}$. En reportant dans l’expression de Q₂, on trouve: $Q_{2}=Q_{1}.{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}$

On trouve enfin:

$W=-Q_{1}-Q_{2}=-Q_{1}\left(1+{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{2}}{T_{1,0}}}\right)~$

d'où le rendement :     $\rho =1-{\frac {T_{2}}{T_{1,0}-T_{2}}}.\ln {\frac {T_{1,0}}{T_{2}}}$

Réfrigérateur - Pompe à chaleur

Définition

Un réfrigérateur - ou une pompe à chaleur - est une machine thermique qui prend de la chaleur à la source froide pour en fournir à la source chaude. Puisqu'un tel transfert ne peut se faire spontanément, on doit fournir du travail à la machine thermique. Ainsi:

• Q₁ < 0
• Q₂ > 0
• W > 0

Le schéma de principe est le suivant:

Définition

Pour un système récepteur, on parle d'efficacité plutôt que de rendement. Elle est notée e. C’est le rapport de la quantité de chaleur transférée dans le sens qui nous intéresse par le travail fourni pour effectuer cette tâche.

• Pour une pompe à chaleur, où le but est de réchauffer la source chaude, l'efficacité est:     $e=-{\frac {Q_{1}}{W}}$.
• Pour un réfrigérateur, où le but est de refroidir la source froide, l'efficacité est:     $e={\frac {Q_{2}}{W}}$

Exemple: Chauffage d'une maison à l'aide d'une pompe à chaleur

La source chaude est une maison. On souhaite maintenir la température de la maison constante en hiver. Cependant, l'isolation n'étant pas parfaite, la maison cède une quantité de chaleur Q₁ au milieu extérieur. La pompe à chaleur devra donc fournir Q₁ au cours d'un cycle.

La source froide est un lac proche. On considère qu’il reste à la température du milieu extérieur, T₂ (T₂ > 0).

On a, comme dans le cas du moteur:

$-Q_{1}=T_{1}.\Delta S_{\sigma _{1}}$

$-Q_{2}=T_{2}.\Delta S_{\sigma _{2}}$

$\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0$

D'où     $Q_{2}=-Q_{1}.{\frac {T_{2}}{T_{1}}}$

Or     $W+Q_{1}+Q_{2}=0$

d'où

$W=-Q_{2}-Q_{1}=Q_{1}.{\frac {T_{2}-T_{1}}{T_{1}}}$

D'où l'efficacité     $e=-{\frac {Q_{1}}{W}}={\frac {T_{1}}{T_{1}-T_{2}}}$

On retrouve la signification de l'efficacité. En effet, on a     ${Q_{1}}_{pac}=eW$.

Si on avait chauffé la maison en ne faisant que convertir le travail en chaleur (en convertissant par exemple de l'électricité par effet Joule), on aurait eu     ${Q_{1}}_{joule}=W$ et donc     $e={\frac {{Q_{1}}_{pac}}{{Q_{1}}_{joule}}}$.

Autre exemple: réfrigérateur

On étudie maintenant un réfrigérateur. La source froide est le réfrigérateur, qu'on souhaite garder à une température constante T₂. La source chaude est le milieu extérieur, à température considérée comme constante T₁. Comme le réfrigérateur n’est pas parfaitement isolé thermiquement, le réfrigérateur reçoit une certaine quantité de chaleur, qu'on doit alors lui reprendre.

Second principe:

$\Delta S_{\sigma _{1}}+\Delta S_{\sigma _{2}}=0$     d'où     ${\frac {Q_{1}}{T_{1}}}=-{\frac {Q_{2}}{T_{2}}}$

donc:

$Q_{1}=-Q_{2}.{\frac {T_{1}}{T_{2}}}$

Premier principe:

$W=-Q_{1}-Q_{2}=Q_{2}.\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}-1\right)=Q_{2}{\frac {T_{1}-T_{2}}{T_{2}}}$

D'où l'efficacité     $e={\frac {Q_{2}}{W}}={\frac {T_{2}}{T_{1}-T_{2}}}$