Métrique riemannienne

Département

Géométrie

Cours :
Géométries non euclidiennes

Sur une variété différentielle M de dimension n, une métrique riemannienne de classe $C^{k}$ est une collection de formes bilinéaires symétriques définies positives g_x sur chaque espace tangent $T_{x} M$ de sorte que, pour tous champs de vecteurs X et Y sur M de classe $C^{k}$ , la fonction g(X,Y) soit de classe $C^{k}$ .

Usuellement, l'espace cotangent de M est noté $T^{*} M$ . Ses sections sont par définition les 1-formes différentielles de M. Le fibré $S^{2} T^{*} M$ est le fibré vectoriel de M dont la fibre en x est l'espace des formes bilinéaires symétriques sur T_xM. Une métrique riemannienne peut donc se définir comme une section globale de $S^{2} T^{*} M$ , en tout point définie positive.

Dans une carte locale, une métrique riemannienne g s'écrit :

g = \sum_{i, j = 1}^{k} g_{i j} d x_{i} \otimes d x_{j}

où $g_{i j}$ sont les coefficients d'une matrice symétrique définie positive.

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