Mécanique 1 (PCSI)/Cinématique du point et du solide

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Cinématique du point

La cinématique est l'étude du mouvement, sans se soucier des causes du mouvement qui sont l’objet de la dynamique. Le mouvement d'un corps est complexe, on ramène donc souvent son étude à celle de son centre d'inertie uniquement, comme si toute la masse du corps était concentrée en ce point. L'étude du mouvement d'un point est très importante car lorsque nous étudierons le mouvement d'un corps, nous le décomposerons comme une somme d'éléments quasi-ponctuels.

Notion de référentiel

La relativité du mouvement

Un train s’apprête à sortir de gare : il avance à une vitesse de 3 km/h par rapport au sol. Un passager, noté A, avance vers l'arrière du train à une vitesse de 3 km/h par rapport au train. À l'arrière du train se trouve un autre passager, noté C, qui fait signe à son ami (noté B) resté sur le quai. Pour C, A avance à 3 km/h alors que pour B, il est immobile ! Le mouvement dépend de l'observateur : c’est ce qu'on appelle la relativité du mouvement. Pour étudier le mouvement d'un corps, on a besoin d'une référence : on étudie toujours le mouvement d'un corps par rapport à un référentiel.

Définition de référentiel

En mathématiques, au lycée, nous avons vu ce qu'était un repère : il s'agit de trois axes ayant une intersection commune appelée origine du repère, souvent notée O. Ces axes permettent de savoir où se situe l’objet étudié, qu'on notera très souvent M. En physique, nous voulons étudier la position de M au cours du temps, il nous faut donc aussi une horloge (un chronomètre) dont l'instant de départ est appelé origine des temps. Un référentiel est l’ensemble {repère + horloge}, ce qui permet de déterminer la position de l’objet étudié au cours du temps.

Coordonnées cartésiennes

La façon la plus intuitive de construire un repère est de le choisir orthonormé (les axes sont perpendiculaires et gradués d'une même unité de longueur), c’est ce qu'on appelle les coordonnées cartésiennes : souvent on note $({\vec {e_{x}}};{\vec {e_{y}}};{\vec {e_{z}}})$ l’ensemble des trois vecteurs directeurs unitaires (qui ont une norme égale à une unité de longueur) des axes.
Le meilleur moyen de repérer la position de notre point M est de définir le vecteur position ${\overrightarrow {OM}}$.
Celui-ci peut s'écrire (se décomposer) ${\overrightarrow {OM}}=x.{\vec {e_{x}}}+y.{\vec {e_{y}}}+z.{\vec {e_{z}}}$ avec x, y et z trois réels appelés les composantes du vecteur position.
Notons que le vecteur position dépend du temps, nous le noterons donc parfois ${\overrightarrow {OM}}(t)$ pour le rappeler.

Position, vitesse et accélération d'un corps

Vecteur vitesse

Par définition, le vecteur vitesse d'un point-masse M est la dérivée temporelle de son vecteur position, que l’on note : ${\vec {v}}={\frac {d{\overrightarrow {OM}}}{dt}}$. Celle-ci dépendant du référentiel d'observation, on la notera parfois ${\vec {v}}_{/{\mathcal {R}}}$ : vitesse par rapport au référentiel ${\mathcal {R}}$.
Exemple : les équations horaires du mouvement d'une masse accrochée à un ressort oscillant sont (A et $\omega$ sont des constantes) :
$\left\{{\begin{array}{r c l}x(t)&=&A.sin(\omega .t)\\y(t)&=&0\\z(t)&=&0\\\end{array}}\right.$
Son vecteur vitesse s'exprime donc ${\vec {v}}=A.\omega cos(\omega .t){\vec {e_{x}}}$

Vecteur accélération

De la même façon, le vecteur accélération d'un point-masse M est par définition la dérivée temporelle de son vecteur vitesse, que l’on note : ${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$. Celui-ci dépendant du référentiel d'observation, on le notera parfois ${\vec {a}}_{/{\mathcal {R}}}$ : accélération "par rapport au référentiel ${\mathcal {R}}$".
Dans l'exemple précédent, on trouve rapidement que ${\vec {a}}=-A.{\omega }^{2}sin(\omega .t){\vec {e_{x}}}$

Coordonnées cylindriques

Coordonnées polaires

Intérêt

Coordonnées polaires

Le repère polaire est une façon élégante d'étudier des mouvements circulaires, elliptiques, paraboliques ou hyperboliques, donc plans : il s'agit d'un système à deux dimensions, que nous complèterons dans le paragraphe suivant pour obtenir le repère cylindrique à trois dimensions. Pour en déterminer les principales caractéristiques, nous allons laisser la correspondance avec le repère cartésien dans un premier temps. Si le point M étudié décrit une trajectoire circulaire de rayon R autour de l'origine O dans le plan (xOy) avec une fréquence f (nombre de tour par seconde) et étant parti du point (1;0) à t = 0, on peut écrire que ${\overrightarrow {OM}}=R.\left(cos(2\pi ft){\vec {e_{x}}}+sin(2\pi ft){\vec {e_{y}}}\right)$, expression pas forcément très pratique à utiliser. Le repère polaire est un ensemble de deux vecteurs $({\vec {e_{r}}};{\vec {e_{\theta }}})$ tel que :

• $\forall t,{\overrightarrow {OM}}=r{\vec {e_{r}}}$ avec r(t) positif : c’est un repère qui "pointe" constamment la position de M.
• On note l'angle $(\theta ={\widehat {{\vec {e_{x}}},{\vec {e_{r}}}}})$

$r$ et $\theta$ sont appelées les coordonnées polaires. Puisqu’il s'agit de grandeurs dépendant du temps, nous les noterons parfois $r(t)$ et $\theta (t)$ pour le souligner. Dans ce repère, le vecteur position d'un point décrivant une trajectoire circulaire de rayon R et de centre O s'écrit tout simplement : ${\overrightarrow {OM}}=R{\vec {e_{r}}}$
Par contre, il est à noter que les vecteurs ${\vec {e_{r}}}$ et ${\vec {e_{\theta }}}$ ont une direction qui dépend du temps, ainsi l’expression de la vitesse nécessite quelques calculs préliminaires :

• Remarquons que ${\vec {e_{r}}}=cos(\theta ){\vec {e_{x}}}+sin(\theta ){\vec {e_{y}}}$ et ${\vec {e_{\theta }}}=-sin(\theta ){\vec {e_{x}}}+cos(\theta ){\vec {e_{y}}}$
• En dérivant par rapport au temps nous obtenons donc : ${\dot {\vec {e_{r}}}}={\frac {d{\vec {e_{r}}}}{dt}}=-sin(\theta ).{\dot {\theta }}{\vec {e_{x}}}+cos(\theta ).{\dot {\theta }}{\vec {e_{y}}}={\dot {\theta }}.{\vec {e_{\theta }}}$
• De la même façon on trouve que ${\dot {\vec {e_{\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}$

Expression de la vitesse en polaire

Retenons que : $\left\{{\begin{array}{l}{\dot {\vec {e_{r}}}}={\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}\\{\dot {\vec {e_{\theta }}}}=-{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\\\end{array}}\right.$
On peut en déduire ${\vec {v}}={\frac {d(r.{\vec {e_{r}}})}{dt}}={\dot {r}}.{\vec {e_{r}}}+r.{\dot {\vec {e_{r}}}}={\dot {r}}{\vec {e_{r}}}+{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}$
Dans le cas d'un mouvement circulaire, ${\dot {r}}=0$ puisque r = cste : on retrouve que la vitesse est uniquement suivant ${\vec {e_{\theta }}}$ : ${\vec {v}}={\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}$
Fréquemment, lorsque ${\dot {\theta }}$ est constante, on la note $\omega$ : c’est la pulsation du mouvement, le "nombre de radians balayés par seconde".

Coordonnées cylindriques

Pour retrouver un repère à trois dimensions, il suffit d'ajouter à la base polaire un troisième vecteur, de telle façon que $({\vec {e_{r}}};{\vec {e_{\theta }}};{\vec {e_{z}}})$ forme un trièdre direct.