Leçons de niveau 13

Lois de probabilité continues/Loi exponentielle

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Loi exponentielle
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Chapitre no 3
Leçon : Lois de probabilité continues
Chap. préc. :Densité de probabilité
Chap. suiv. :Loi normale
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Lois de probabilité continues/Loi exponentielle
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Soit un nombre strictement positif.

On dira que suit une loi exponentielle de paramètre si sa fonction densité de probabilité est définie par :


Vérifions, tout d'abord que est bien une fonction densité de probabilité.

étant strictement positif et la fonction exponentielle étant strictement positive, sera positive pour tout .

De plus :


Calcul d'une probabilité[modifier | modifier le wikicode]

La loi exponentielle permet principalement de calculer des probabilités en relations avec la durée de vie de phénomènes qui ne vieillissent pas comme la décomposition d'éléments radio-actif.

Une primitive de la fonction étant la fonction , nous n'avons aucune difficulté pour calculer une probabilité. par exemple, si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre , nous avons :

entraîne :


Nous en déduisons immédiatement :

entraîne :


Si et sont deux nombres positifs tel que , nous en déduisons aussi :


Espérance de loi exponentielle[modifier | modifier le wikicode]



Une propriété remarquable[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons la propriété suivante :



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Démonstration.

est une probabilité conditionnelle. Par définition, nous aurons donc :

Cette propriété exprime le fait que la durée de vie d'un phénomène qui ne vieillit pas est indépendante de l'instant à partir duquel on mesure cette durée de vie. Par exemple, si un corps radio-actif a une probabilité égale à 0,25 de se désintégrer dans les 1000 années qui viennent et si dans 1500 ans, par exemple, il ne s'est toujours pas désintégré, alors la probabilité qu'il se désintègre dans les 1000 années qui suivent cette période sera toujours de 0,25.