Lois de probabilité continues/Densité de probabilité

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Dans ce chapitre nous supposerons que la fonction de répartition est dérivable. La probabilité que la variable aléatoire prenne des valeurs comprises entre deux nombres $a$ et $b$ sera notée $p(a<X<b)$ et on aura :

$p(a<X<b)=F(b)-F(a)$

L'expression $F(b)-F(a)$ nous fait penser à la formule :

$\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)$

$F$ étant la primitive de $f$. C'est-à-dire que $f$ est la dérivée de $F$.

En s'inspirant de ce que l'on vient de dire, nous admettrons qu'il existe une fonction $f$ que nous appellerons fonction densité de probabilité telle que pour trouver la probabilité qu'une variable aléatoire continue prenne des valeurs comprises entre $a$ et $b$, on utilise la formule :

$p(a<X<b)=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$

Nous voyons alors que le calcul d'une probabilité se ramène au calcul d'une surface.

Exemple. Reprenons l'exemple de notre tir de flèche dans une cible du chapitre précédent et supposons que le tracé de la fonction densité de probabilité soit : la surface totale sous la courbe doit être égale à 1 et la probabilité que la flèche tirée ait une distance par rapport au centre comprise entre 3 cm et 7 cm sera la surface coloriée suivante :

Si $a$ tend vers $-\infty$ et si $b$ tend vers $+\infty$, alors la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur entre $a$ et $b$ devient une certitude, c'est-à-dire prend une valeur qui tend vers $1$.

Mathématiquement, nous traduirons cette affirmation par la formule :

$\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}f(t)\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}f(t)\,\mathrm {d} t=1$

Nous avons remplacé $a$ par $x$ et $b$ par $y$ pour exprimer le fait que nous avons affaire à des nombres qui varient.

Nous remarquons aussi qu'une probabilité s'exprime par un nombre qui ne peut pas être négatif. Nous admettrons que cela implique que la fonction densité de probabilité ne peut pas prendre des valeurs négatives.

Nous retiendrons donc les deux principales propriétés que doit vérifier une fonction $f$ pour être une fonction densité de probabilité :

Pour être une fonction densité de probabilité, une fonction $f$ doit vérifier les deux propriétés suivantes : $f$ ne peut prendre que des valeurs positives ou nulles. La surface totale entre le tracé de $f$ et l’axe des abscisses est égale à 1.

Espérance mathématique

L' espérance mathématique est ce que l'on peut espérer avoir en moyenne lorsque l'on répète une expérience un très grand nombre de fois.

On démontre et nous admettrons que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $X$, notée $E(X)$, est donnée par la formule :

$E(X)=\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}t.f(t)\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}t.f(t)\,\mathrm {d} t$

Loi uniforme

Nous allons étudier dans ce paragraphe une première loi de probabilité continue que l'on appelle loi uniforme.

Soit deux nombres $a$ et $b$. On dira qu'une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[a;\,b]$ si sa fonction densité de probabilité est constante sur $[a;\,b]$ et nulle en dehors de $[a;\,b]$.

Soit $k$ la valeur valeur prise par la fonction densité de probabilité sur$[a;\,b]$. Nous remarquons alors que la surface entre la fonction densité de probabilité et l'axe de abscisse est un rectangle dont les dimensions sont $b-a$ et $k$. Cette surface devant être égale à 1, nous aurons :

$k(b-a)=1$

ce qui entraîne :

$k={\frac {1}{b-a}}$

La fonction densité de probabilité $f$ d'une loi uniforme sera donc ainsi définie :

$f(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}x<a\\{\frac {1}{b-a}},&{\mbox{si }}a\leqslant x\leqslant b\\0,&{\mbox{si }}b<x\end{cases}}$

L'espérance mathématique de la loi uniforme sera :

$E(X)=\lim _{x\to -\infty }\int _{x}^{0}t.f(t)\,\mathrm {d} t+\lim _{y\to +\infty }\int _{0}^{y}t.f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}t.f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}t.{\frac {1}{b-a}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{b-a}}\left[{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{a}^{b}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2(b-a)}}={\frac {a+b}{2}}$

On retiendra :

$E(X)={\frac {a+b}{2}}$