L'énergie et ses conversions/La résistance

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Introduction

Définition littérale

La résistance d'un conducteur ohmique (le plus souvent appelé résistor) traduit sa capacité à faire circuler un nombre d'électrons variable en fonction du temps et de la tension à ses bornes. Autrement dit, c'est la capacité du conducteur ohmique à résister à la circulation du courant électrique en son sein. La résistance est notée R et son l'unité est l'Ohm (Ω).

Définition mathématique et étude des cas de variation de la résistance

La définition mathématique de la résistance d'un conducteur ohmique est exprimée en fonction de l'intensité du courant et de la tension aux bornes de ce conducteur ohmique :

$R={U \over I}=U.{dt \over dq}$

3 paramètres interviennent dans cette équation : la tension $U$, la quantité d'électrons $q$ et le temps $t$.

La variation de la résistance $R$ dépend donc de ces trois paramètres.

Plusieurs cas peuvent être établis pour expliquer la variation de ce paramètre électrique :

• Si la tension $U$ est constante :
  • Si la quantité d'électrons $q$ est constante : alors, le paramètre $t$ est variable. Ceci traduit une variation de temps de circulation d'un nombre constant d'électrons dans le conducteur ohmique (donc : variation de l'intensité du courant électrique).
  • Si le temps de circulation des électrons $t$ est constant : alors, le paramètre $q$ est variable. Ceci traduit une variation du nombre d'électrons circulant par unité de temps, dans le conducteur ohmique (donc : variation de l'intensité du courant électrique).
• Si la tension $U$ est variable :
  • Si l'intensité du courant électrique $I$ est constante (nombre de charges électriques $q$ constant par unité de temps $t$) : ceci signifie que la tension électrique aux bornes du conducteur ohmique (différence de potentiel et d'état électrique entre ses bornes) est variable ainsi que le débit de charges dans le conducteur ohmique.
  • Si l'intensité du courant électrique $I$ est variable (variation du nombre d'électrons par unité de temps ou variation du temps de circulation d'un nombre d'électrons constant).

En résumé : la résistance d'un conducteur ohmique varie si au moins un des paramètres électriques ou temporels n'est pas constant : la tension $U$ ou l'intensité du courant électrique $I$ (relation de la charge électrique $q$ et du temps $t$).

Mesure de la résistance électrique

L'appareil utilisé pour mesurer une résistance électrique est l'ohmmètre.

Il est composé principalement de deux bornes : Ω et COM.

Son symbole est :

Symbole électrique de l'ohmmètre

L'ohmmètre se branche en dérivation (parallèle) aux deux points concernés par la mesure (bornes d'un composant ou d'un circuit). La borne Ω de l'ohmmètre se branche à un des points du circuit (ou du composant). La borne COM se branche à un deuxième point du circuit (ou du composant). Il n'y a pas de notion d'entrée ni de sortie du composant ou circuit vu que sa valeur est toujours positive (valeur absolue). Le principe de la mesure exploite la loi d'Ohm.

L'ohmmètre fonctionne des deux manières suivantes :

• Il impose une tension et mesure le courant
• Il génère un courant et mesure la tension
  

Propriétés physiques de la résistance et relations mathématiques

Dans un montage (circuit électrique) en série

Définition littérale de l'association des résistors linéaires

Des dipôles sont en série lorsqu'ils sont traversés par le même courant et partagent une même connexion qui ne soit pas un noeud de courant. En série, les résistances s'additionnent.

Définition mathématique / algébrique

$\sum _{n=1}^{p}R_{n}=R_{eq}\Longleftrightarrow R_{1}+R_{2}+R_{3}+\ldots +R_{p}=R_{eq}$

Avec :

• $R_{eq}$ : Résistance équivalente (résultat de la somme de toutes les valeurs des résistances branchées en série)
• $R_{n}$ : Résistance caractéristiques de chaque dipôle ohmique

Schéma de plusieurs résistances en série et résultat de leur association :

Résistances en série

Pont diviseur de tension

Définition littérale

Le pont diviseur de tension est utilisé avec des résistances en série. Il sert à calculer la tension aux bornes d'une résistance en fonction des valeurs des autres résistances et de la somme des tensions à leurs bornes.

Définition mathématique / algébrique

$U_{n}={\frac {R_{n}}{\sum _{n=1}^{p}R_{n}}}.U_{tot}\Longleftrightarrow U_{n}={\frac {R_{n}}{R_{eq}}}.U_{tot}$

Avec :

• $R_{eq}$ : Résistance équivalente (somme de toutes les valeurs des résistances branchées en série)

• $R_{n}$ : Résistance caractéristique du dipôle ohmique n
• $U_{tot}$ : Somme des tensions aux bornes de toutes les résistances en série
• $U_{n}$ : Tension aux bornes du dipôle ohmique n

Dans un montage (circuit électrique) en dérivation (parallèle)

Définition littérale de l'association des résistors linéaires

Des dipôles sont en parallèle lorsqu'ils sont soumis à la même tension et sont connectés bornes à bornes.

En parallèle, les conductances (inverse des résistances) s'additionnent.

Définitions mathématiques / algébriques

$\sum _{n=1}^{p}{\frac {1}{R_{n}}}={\frac {1}{R_{eq}}}\Longleftrightarrow {\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {1}{R_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{p}}}={\frac {1}{R_{eq}}}$

$\sum _{n=1}^{p}G_{n}=G_{eq}\Longleftrightarrow G_{1}+G_{2}+G_{3}+\cdots +G_{p}=G_{eq}$

Avec :

• ${\frac {1}{R_{eq}}}=G_{eq}$ : Inverse de la résistance équivalente (conductance équivalente) (somme de toutes les valeurs inverses des résistances branchées en parallèle).
• $R_{n}$ : Résistance caractéristique de chaque dipôle ohmique
• $G_{n}$ : Conductance caractéristique de chaque dipôle ohmique

Schéma de plusieurs résistances en parallèle et résultat de leur association :

Résistances en parallèle

Pont diviseur de courant

Définition littérale

Le pont diviseur de courant est utilisé avec des résistances en parallèle. Il sert à calculer l'intensité du courant traversant une résistance en fonction des valeurs des autres résistances et de la somme des intensités du courant qui les traverse.

Définition mathématique / algébrique

$I_{n}={\frac {I_{tot}}{R_{n}.\sum _{n=1}^{p}{\frac {1}{R_{n}}}}}\Longleftrightarrow I_{n}={\frac {R_{eq}}{R_{n}}}.I_{tot}$

Avec :

• $R_{eq}$ : Résistance équivalente

• $R_{n}$ : Résistance caractéristique du dipôle ohmique n
• $I_{tot}$ : Somme des intensités du courant traversant toutes les résistances en parallèle
• $I_{n}$ : Intensité du courant traversant le dipôle ohmique n

Dipôles équivalents

Définition littérale

Des dipôles sont équivalents s'is sont soumis à une même tension et traversés par un courant de même intensité. Ils sont équivalents s'ils ont tous la même caractéristique tension-courant.