Leçons de niveau 15

Introduction à la magnétohydrodynamique/Loi d'Ohm en milieu magnétisé

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Loi d'Ohm en milieu magnétisé
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Chapitre no 2
Leçon : Introduction à la magnétohydrodynamique
Chap. préc. :Introduction générale
Chap. suiv. :Ondes en MHD idéale
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Position du problème et notations[modifier | modifier le wikicode]

On considère un matériau constitué de particules, de charge q et de masse m chacune. On note n leur densité, c'est-à-dire le nombre de particules par unité de volume.

On notera E le champ électrique, B le champ magnétique. On considèrera l'influence de la gravité faible devant la force électromagnétique.

Loi d'Ohm[modifier | modifier le wikicode]

On observe que, lorsque l'un de ces porteurs de charges se déplace à une vitesse v, il subit une force s'opposant à son déplacement :

Il s'agit d'une expression analogue à celle du frottement qu'exercerait un fluide — mais son origine est tout autre : en effet, on considère qu'elle traduit les « collisions » entre porteurs de charges. De fait, on sait qu'alors :

Le paramètre τ représente le « temps de vol » entre deux collisions, il est appelé temps de libre parcours moyen.

On admet que ce paramètre est une constante du milieu. Nous appliquons le principe fondamental de la dynamique à un porteur de charge :

À partir d'un certain temps, les forces s'équilibrent et on atteint un régime permanent. L'équation ci-dessus s'écrit alors :

D'où on tire facilement :

Le vecteur densité de courant, défini par j = ρ v vaut alors :

On a donc une loi d'Ohm locale :

Début d’un principe
Fin du principe


Remarque. le seul paramètre qui n’est pas directement accessible à l'expérience dans ce cas est le temps τ. On peut le déduire de la force de frottement observée, ou de la conductivité du matériau.

Une autre interprétation de τ[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce qui précède, une autre interprétation possible du paramètre τ est qu’il s'agit du « temps de relaxation » avant d'atteindre le régime stationnaire, donc en quelque sorte :

Le paramètre τ caractérise la durée à partir de laquelle la loi d'Ohm est vérifiée.

Lorsque le milieu est très dilué, cette durée augmente (alors que la densité diminue). Ainsi :

Début d’un principe
Fin du principe


Dans toute la suite de la leçon, nous admettrons que cette loi est vérifiée.