Introduction à la magnétohydrodynamique/Équation d'onde

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Introduction

Après avoir établi les équations régissant les champs et les vitesses dans le fluide, nous montrons dans ce chapitre que des ondes se propagent. Nous établirons donc une équation d'onde et une relation de dispersion.

Nous utilisons ici les notations du chapitre précédent.

Équation d'onde

L'équation de Maxwell-Faraday donne :

${\frac {\partial E}{\partial z}}=-{\frac {\partial b}{\partial t}}\qquad (1)$

D'autre part, la dérivée temporelle du champ électrique vaut :

${\frac {\partial E}{\partial t}}=-B_{0}{\frac {\partial v}{\partial t}}\qquad (2)$

En dérivant encore cette dernière relation par rapport à z, on a :

${\frac {\partial ^{2}E}{\partial t\partial z}}=-B_{0}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial t\partial z}}\qquad (3)$

D'autre part, en dérivant (1) par rapport au temps, on obtient :

${\frac {\partial ^{2}E}{\partial z\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}b}{\partial t^{2}}}\qquad (4)$

En vertu du théorème de Schwartz, (3) = (4). Égalisant les deux membres, on obtient :

${\frac {\partial ^{2}b}{\partial z^{2}}}-{\frac {\mu _{0}\mu }{B_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}b}{\partial t^{2}}}=0$

Il s'agit d'une équation d'onde. Les ondes solution de cette équation se propagent à une vitesse :

$v_{A}={\frac {B_{0}}{\sqrt {\mu _{0}\mu }}}$

appelée vitesse d'Alfvén.

Relation de dispersion

Utilisant le théorème de Fourier combiné à l'analyse vectorielle on montre immédiatement que l'équation d'onde ci-dessus implique la relation de dispersion :

$k^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v_{A}^{2}}}$

Donc le nombre d'onde est :

$k=\pm {\frac {\omega }{v_{A}}}$

De même, la vitesse de phase comme la vitesse de groupe associées à ces ondes égalent la vitesse d'Alfvén :

$v_{\phi }={\frac {\omega }{k}}=v_{A}$

$v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}=v_{A}$

Par conséquent, le milieu est non-dispersif (indépendance envers ω) et non absorbant (k est réel).

Exemples

Voici quelques exemples donnant des ordres de grandeur.

	B₀ (T)	μ (kg.m⁻³)	γ (S.m⁻¹)	vA (m.s⁻¹)
Mercure liquide	1	13,5.103	1,02.106	7
Sodium liquide	1	930	1,04.108	30
Protosphère solaire	0,1	3,16.10-9	1,11.104	1,6.106

Remarque : pour des vitesses élevées, notre modèle (qui ne prend pas en compte les effets relativistes) n'est plus tout à fait valable. Concernant la protosphère, la faible densité remet également en question l'hypothèse faite dans le chapitre 2 sur la force de frottement. Ces résultats approximatifs sont cependant plutôt précis.

Expression finale des champs, énergie

Nous avons réussi à expliciter tous les champs :

$\mathbf {b} =b_{0}\cos \left(\omega t-kz\right)\mathbf {e} _{y}$

$\mathbf {E} =b_{0}v_{A}\cos \left(\omega t-kz\right)\mathbf {e} _{x}$

$\mathbf {v} =-{\frac {b_{0}}{B_{0}}}v_{A}\cos \left(\omega t-kz\right)\mathbf {e} _{y}$

$\mathbf {j} =-{\frac {b_{0}k}{\mu _{0}}}\sin \left(\omega t-kz\right)\mathbf {e} _{x}$

Le vecteur de Poyting est défini par :

$\mathbf {\Pi } ={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)$

Sa moyenne temporelle est donc :

$\langle \mathbf {\Pi } \rangle ={\frac {b_{0}^{2}}{2\mu _{0}}}v_{A}\mathbf {e} _{z}$

L'énergie cinétique transportée par l'onde est, en moyenne :

$\langle {\mathcal {E}}_{c}\rangle ={\frac {1}{4}}\cdot \mu {\frac {b_{0}^{2}}{B_{0}^{2}}}v_{A}^{2}$

L'énergie magnétique moyenne est (en négligeant les termes constants, nuls à l'origine) :

$\langle {\mathcal {E}}_{m}\rangle ={\frac {b_{0}^{2}}{4\mu _{0}}}$

On remarque qu’il y a équipartition en moyenne des énergies : $\langle {\mathcal {E}}_{c}\rangle =\langle {\mathcal {E}}_{m}\rangle$. On vérifie par ailleurs aisément que l'énergie électrique est négligeable :

$\langle {\mathcal {E}}_{e}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}}{2}}{\frac {b_{0}^{2}v_{A}^{2}}{2}}$

${\frac {\langle {\mathcal {E}}_{e}\rangle }{\langle {\mathcal {E}}_{m}\rangle }}={\frac {\varepsilon _{0}B_{0}^{2}}{\mu }}\approx 10^{-15}$

Enfin, calculons la vitesse de propagation de l'énergie :

$\mathbf {v} _{e}={\frac {\langle \mathbf {\Pi } \rangle }{\langle {\mathcal {E}}\rangle }}={\frac {1}{2}}{\frac {\langle \mathbf {\Pi } \rangle }{\langle {\mathcal {E}}_{m}\rangle }}=v_{A}\mathbf {e} _{z}$