Introduction à la cinématique/Exercices/Mouvement de translation uniforme

Halage d'un bateau en cale sèche

Un treuil effectue le halage du bateau. La longueur de halage est de 700 mètres. La vitesse de halage est de 30 m/min.

1. Déterminer l'équation de mouvement du bateau.
2. Déduire la durée totale du halage.
3. Tracer les trois courbes suivantes :
   • Déplacement en fonction du temps
   • Vitesse en fonction du temps
   • Accélération en fonction du temps

Solution

1. Il s’agit d'un mouvement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante :

   $X=Vt+X_{0}$

   avec X la distance parcourue, X₀ la distance déjà parcourue, t le temps après le mouvement, t₀ = 0 s le temps au début du mouvement et une vitesse V constante.
2. Pour calculer le temps t, on utilise l'équation ci-dessus.

   ${\begin{aligned}X&=Vt+X_{0}\\Vt&=X-X_{0}\\t&={\frac {X-X_{0}}{V}}\end{aligned}}$

   On applique numériquement l’équation.

   ${\begin{aligned}t&={\frac {700-0}{\frac {30}{60}}}\\&=1\ 400\ {\text{s}}\end{aligned}}$

3. • 
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Grue sur portique

Soit une grue sur portique. L'ensemble fait quatre mouvements successifs.

• Levage de la charge sur une hauteur de 10 m à la vitesse de 60 m/min.
• Arrêt du levage et translation de la grue sur le portique à la vitesse de 110 m/min sur 70 m.
• Arrêt de la grue et translation de l’ensemble du portique sur une distance de 150 m à la vitesse de 25 m/min.
• Arrêt du portique et descente de la charge sur une hauteur de 7 m à la vitesse de 60 m/min. On suppose que les quatre mouvements sont des mouvements rectilignes et uniformes.

1. Déterminer pour chacune des phases des mouvements et les équations correspondantes.
2. Quelle est la durée de chaque mouvement ? Quelle est la durée des quatre mouvements ?

Solution

1. Chaque mouvement est un movement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante :

   $X=Vt+X_{0}$

   avec X la distance parcourue, X₀ la distance déjà parcourue, t_x le temps après le mouvement de la phase x, t_0(x) le temps au début du mouvement de la phase x et une vitesse V constante. Pour calculer le temps t, on utilise l'équation ci-dessus.

   ${\begin{aligned}X&=Vt+X_{0}\\Vt&=X-X_{0}\\t&={\frac {X-X_{0}}{V}}+t_{0}\end{aligned}}$

2. Pour le levage de la charge, on applique numériquement l’équation avec X = 10 m la distance parcourue, X₀ = 0 m la distance déjà parcourue, t le temps après le mouvement, t₀ = 0 s le temps au début du mouvement et une vitesse V = 60 m/min constante pour calculer le temps t.

   ${\begin{aligned}t_{1}&={\frac {10-0}{\frac {60}{60}}}\\&=10\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   De même, pour la translation de la grue, on a X = 70 m la distance parcourue et une vitesse V = 110 m/min constante.

   ${\begin{aligned}t_{2}&={\frac {70-0}{\frac {110}{60}}}\\&={\frac {420}{11}}\approx 38\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   De même, pour la translation de l’ensemble du portique, on a X = 150 m la distance parcourue et une vitesse V = 25 m/min constante.

   ${\begin{aligned}t_{3}&={\frac {150-0}{\frac {25}{60}}}\\&=360\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   De même, pour la translation de l’ensemble du portique, on a X = 7 m la distance parcourue et une vitesse V = 60 m/min constante.

   ${\begin{aligned}t_{4}&={\frac {7-0}{\frac {60}{60}}}\\&=7\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   On calcule la durée des quatre movements.

   $t_{\text{total}}=t_{1}+t_{2}+t_{3}+t_{4}$

   On applique numérique l'équation.

   ${\begin{aligned}t_{\text{total}}&=10+{\frac {420}{11}}+360+7\\&={\frac {4567}{11}}\approx 145.18\ {\text{s}}\end{aligned}}$

 

Trottoir roulant

Soit trois piétons 1, 2 et 3 se déplaçant de la façon suivante :

• Le piéton 2, immobile sur le trottoir roulant, se déplace à la même vitesse V₂ que celui-ci. Soit X₂ la position par rapport à l'origine choisie.
• Le piéton 1 se déplace sur le trottoir à la vitesse V₁ par rapport au sol. Soit X₁ la position par rapport à l'origine choisie.
• Le piéton 3 se déplace à côté du trottoir roulant à la vitesse V₃, en sens inverse des deux autres piétons. Soit X₃ la position par rapport à l'origine choisie.

Les conditions initiales du mouvement sont les suivantes :

• t = 0 s
• X₀₍₁₎ = 0 m
• X₀₍₂₎ = 50 m
• X₀₍₃₎ = 400 m
• V₁ = V_{piéton/tapis} + V₂ = 10,8 km⋅h⁻¹
• V₂ = 6,12 km⋅h⁻¹
• V₃ = −5,4 km⋅h⁻¹

1. Déterminer les équations de mouvement des trois piétons.
2. Tracer sur un même graphe ces trois équations. Echelles à choisir.
3. A quel instant et à quelle distance le piéton 1 dépasse-t-il le piéton 2 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?
4. A quel instant et à quelle distance le piéton 1 rencontre-t-il le piéton 3 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?
5. A quel instant et à quelle distance le piéton 2 rencontre-t-il le piéton 3 ? Faire une résolution algébrique et une résolution graphique ?

Solution

1. Chaque mouvement est un movement de translation uniforme, donc on utilise l'équation suivante :

   $X=Vt+X_{0}$

   avec X_x la distance parcourue du piéton x, X_0(x) la distance déjà parcourue par le piéton x, t le temps après le mouvement, t_0(x) le temps au début du mouvement du piéton x et une vitesse V_x constante du piéton x.

   $X=Vt+X_{0}$

   Pour le piéton 1, on a t₀₍₁₎ = 0 s, donc

   $X_{1}=V_{1}t+X_{0(1)}$

   On applique numérique l'équation.

   ${\begin{aligned}X_{1}&={\frac {10{,}8}{3{,}6}}t+0\\X_{1}&=3t\end{aligned}}$

   Pour le piéton 2, on a t₀₍₂₎ = 0 s, donc

   $X_{2}=V_{2}t+X_{0(2)}$

   On applique numérique l'équation.

   ${\begin{aligned}X_{2}&={\frac {6{,}12}{3{,}6}}t+50\\X_{2}&=1{,}7t+50\end{aligned}}$

   Pour le piéton 3, on a t₀₍₃₎ = 0 s, donc

   $X_{3}=V_{3}t+X_{0(3)}$

   On applique numérique l'équation.

   ${\begin{aligned}X_{3}&={\frac {-5{,}4}{3{,}6}}t+400\\X_{3}&=-1{,}5t+400\end{aligned}}$

2. 
3. Graphiquement, le piéton 1 dépasse le piéton 2 à t = 40 s à une distance de X = 120 m. Analytiquement,

   ${\begin{cases}X_{1}=3t\\X_{2}=1{,}7t+50\end{cases}}$

   Lorsque le piéton 1 dépasse le piéton 2 donc

   $X_{1}>X_{2}$

   On applique l'inéquation numériquement.

   ${\begin{aligned}3t&>1{,}7t+50\\1{,}3t&>50\\t&>{\frac {500}{13}}\ {\text{avec}}\ {\frac {500}{13}}\approx 38\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   On calcule X.

   ${\begin{aligned}X&=3\times {\frac {500}{13}}\\X&={\frac {1500}{13}}\approx 115\ {\text{m}}\end{aligned}}$

4. Graphiquement, le piéton 1 rencontre le piéton 3 à t = 90 s à une distance de X = 270 m. Analytiquement,

   ${\begin{cases}X_{1}=3t\\X_{3}=-1{,}5t+400\end{cases}}$

   Lorsque le piéton 1 rencontre le piéton 3 donc

   $X_{1}=X_{3}$

   On applique l'inéquation numériquement.

   ${\begin{aligned}3t&=-1{,}5t+400\\4{,}5t&=400\\t&={\frac {800}{9}}\approx 88{,}889\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   On calcule X.

   ${\begin{aligned}X&=3\times {\frac {800}{9}}\\X&={\frac {800}{3}}\approx 266{,}67\ {\text{m}}\end{aligned}}$

5. Graphiquement, le piéton 2 rencontre le piéton 3 à t = 110 s à une distance de X = 240 m. Analytiquement,

   ${\begin{cases}X_{2}=1{,}7t+50\\X_{3}=-1{,}5t+400\end{cases}}$

   Lorsque le piéton 1 rencontre le piéton 3 donc

   $X_{2}=X_{3}$

   On applique l'inéquation numériquement.

   ${\begin{aligned}1{,}7t+50t&=-1{,}5t+400\\3{,}2t&=350\\t&={\frac {875}{8}}=109{,}375\ {\text{s}}\end{aligned}}$

   On calcule X.

   ${\begin{aligned}X&=1{,}7\times {\frac {875}{8}}+50\\X&={\frac {3775}{16}}\approx 235{,}94\ {\text{m}}\end{aligned}}$