Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Excitation magnétique

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Introduction

Comme dans le cas de la polarisation, distinguons à présent :

• les courants étrangers au milieu matériel, qui sont des courants de conduction ordinaires, de densité volumique ${\overrightarrow{J}}_E$
• les courants liés au milieu matériel, qui sont ceux introduits au chapitre précédent, de densité volumique ${\overrightarrow{J}}_L$

On a établi la relation ${\overrightarrow{J}}_L=\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{M})$

Excitation magnétique

L'équation de Maxwell vérifiée par le rotationnel du champ magnétique est :

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{B})& ={\mu }_0({\overrightarrow{J}}_L+{\overrightarrow{J}}_E)\\ & ={\mu }_0(\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{M})+{\overrightarrow{J}}_E)\\ \end{array}$

d'où $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M})={\overrightarrow{J}}_E$

Excitation magnétique

On appelle excitation magnétique le vecteur $\overrightarrow{H}=\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M}$

Propriétés de l'excitation magnétique

Équation de Maxwell vérifiée par H

Propriété

$\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{H})={\overrightarrow{J}}_E$

Cette relation est très importante car, en pratique, on maîtrise parfaitement le courant ${\overrightarrow{J}}_E$.

Généralisation du théorème d'Ampère

Soit $𝒞$ un contour orienté de l'espace sur lequel s'appuie une surface S.

L'application de la formule de Stokes à cette équation permet de déboucher sur une propriété remarquable :

${\int }_S\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}(\overrightarrow{H})\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}={\int }_S{\overrightarrow{J}}_E\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}=I_E={\oint }_{𝒞}\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}l}$

Généralisation du théorème d'Ampère

${\oint }_{𝒞}\overrightarrow{H}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}l}=I_E$

Susceptibilité magnétique

Susceptibilité magnétique

Une autre définition de la susceptibilité magnétique, plus couramment utilisée, est donnée par la relation :

$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H}$

Relation entre B et H

Perméabilité magnétique

$\overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{M}+\overrightarrow{H})={\mu }_0({\chi }_m+1)\overrightarrow{H}$

Perméabilité magnétique

• On appelle perméabilité magnétique la grandeur $\mu ={\mu }_0(1+{\chi }_m)$
• La grandeur ${\mu }_r=1+{\chi }_m$ est appelée perméabilité magnétique relative de la substance.

Propriété

La perméabilité magnétique est reliée à la propension du matériau à canaliser les lignes du champ magnétique.

Relation fondamentale

Relation entre B et H

$\overrightarrow{B}=\mu \overrightarrow{H}$

Cas général

Dans le cas le plus général, ${\overline{\overline{\chi }}}_m$ est un tenseur d'ordre 2 qui dépend de $\overrightarrow{H}$. Cela peut conduire à des comportements non linéaires, en particulier lorsque les champs deviennent importants où l’on observe le phénomène de saturation. Ces comportements feront l’objet d'une étude ultérieure.

On appelle alors tenseur de perméabilité magnétique le tenseur $\overline{\overline{\mu }}={\mu }_0({\overline{\overline{I}}}_3+{\overline{\overline{\chi }}}_m)$. La relation fondamentale entre $\overrightarrow{B}$ et $\overrightarrow{H}$ devient $\overrightarrow{B}=\overline{\overline{\mu }}\overrightarrow{H}$.

Question de vocabulaire

Concernant les champs représentant les phénomènes magnétiques, il y a deux écoles :

• Pour les uns, le champ magnétique est le vecteur $\overrightarrow{B}$, tandis que $\overrightarrow{H}$ est l'excitation magnétique.
• Pour les autres, le champ magnétique est le vecteur $\overrightarrow{H}$. Le vecteur $\overrightarrow{B}$ s’appelle alors l'induction magnétique, ou champ magnétique induit.

En effet, le champ $\overrightarrow{H}$ est bien initié par les courants libres, qui sont a priori les courants appliqués et contrôlés par l'opérateur sur le système. En réponse à cette excitation, on observe au sein du système l'apparition d'un champ $\overrightarrow{B}$, incluant l'aimantation, qu'on va pouvoir mesurer et qui sera caractéristique des phénomènes étudiés.

Pour assurer la cohérence avec les cours désignés en prérequis, on conservera pour $\overrightarrow{B}$ le nom de champ magnétique induit.