Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Déplacement électrique

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Définition

On travaille avec les mêmes hypothèses et les mêmes notations qu'au chapitre précédent.

On ne s'était jusqu'à présent intéressé qu'aux charges liées. À présent, on considère qu’il est également possible que des charges étrangères au milieu étudié puissent s'y déplacer. Ces charges étrangères au diélectrique (ou charges libres car elles sont libres de se déplacer) ont une densité volumique $\rho _{E}$

On sait désormais que ${\begin{cases}{\rm {div}}({\vec {P}})=-\rho _{L}\\\displaystyle {{\rm {div}}({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}(\rho _{L}+\rho _{E})}\end{cases}}$

La combinaison de ces deux équations aboutit à ${\rm {div}}(\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}})=\rho _{E}$

Déplacement électrique

On appelle déplacement électrique le vecteur ${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$

Le vecteur ${\vec {D}}$ est aussi parfois appelé induction électrique, du fait qu’il est le résultat de l’application d'un champ d'« excitation », ici ${\vec {E}}$, sur la substance diélectrique étudiée.

Propriétés

Équation de Maxwell vérifiée par le déplacement électrique

Propriété

${\rm {div}}({\vec {D}})=\rho _{E}$

Généralisation du théorème de Gauss

L'application de la formule d'Ostrogradsky à cette équation permet de déboucher sur une propriété remarquable : $\int _{V}{\rm {div}}({\vec {D}})\,{\rm {d}}\tau =\int _{V}\rho _{E}\,{\rm {d}}\tau =Q_{E}=\oint _{\Sigma }{\vec {D}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}$

Généralisation du théorème de Gauss

$\oint _{\Sigma }{\vec {D}}\cdot {\overrightarrow {{\rm {d}}S}}=Q_{E}$

Q_E est constituée des charges contenues à l'intérieur de Σ, mais qui ne constituent pas le diélectrique.

Relation entre D et E

${\begin{aligned}{\vec {D}}&=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}\\&=\epsilon _{0}{\vec {E}}+(\epsilon _{0}~\chi _{e}~{\vec {E}})\\&=\epsilon _{0}\epsilon _{r}{\vec {E}}\\\end{aligned}}$

Relation entre D et E

${\vec {D}}=\epsilon {\vec {E}}$