Leçons de niveau 16

Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Équations de Maxwell

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Équations de Maxwell
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Chapitre no 8
Leçon : Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels
Chap. préc. :Circuits magnétiques
Chap. suiv. :Force et énergie
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Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Équations de Maxwell
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L'électromagnétisme repose sur quatre équations fondamentales, appelées équations de Maxwell.

Début d’un principe


Fin du principe


avec :

  • le champ électrique total
  • le champ magnétique total
  • la densité volumique de charge
  • la densité volumique de courant

Ces équations sont microscopiques (mais historiquement elles ont été donné sous leur forme macroscopique), cependant en pratique on utilise souvent leurs versions macroscopiques, que l’on va formuler ici. Pour cela, on moyenne les sources et les champs sur une région spatiale petite devant les fluctuations de composition de la matière et de la longueur d'onde du champ microscopique, et grande devant les fluctuations inter-atomiques de ce dernier.

On note ces grandeurs moyennes :

Suivant les besoins, on peut proposer deux formulations.


Première formulation[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe


Fin du principe


Elles sont identiques aux équations microscopiques.

Seconde formulation[modifier | modifier le wikicode]

Le problème de la première formulation et que l’on ne connaît jamais les sources intégralement ( et ). On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

  • On ne connait pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note et leurs densités volumiques respectives)
  • On connait en général les charges et les courants libres du milieu (on note et leurs densités volumiques respectives)

On a ainsi :

On définit alors les champs macroscopiques suivant :

  • la polarisation, notée et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale
  • l'aimantation, notée et définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique totale

On peut démontrer que :

On définit enfin les champs macroscopiques suivant :

  • l'excitation électrique, notée et définie par
  • l'excitation magnétique, notée et définie par

La séparation des sources et l'ajout des champs et ne font que masquer le problème car ils nécessitent deux équations supplémentaires, reliant et à et . On les nomme équations constitutives du milieu (la difficulté est de les déterminer).

Début d’un principe


Fin du principe


On utilise souvent cette formulation pour traiter les cas faisant intervenir des diélectriques ou des matériaux aimantés.