Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Équations de Maxwell

**Équations de Maxwell**
Leçon : Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Circuits magnétiques
Chap. suiv. :	Force et énergie

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Introduction à l'électromagnétisme des milieux matériels/Équations de Maxwell », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'électromagnétisme repose sur quatre équations fondamentales, appelées équations de Maxwell.

Équations de Maxwell

${\rm {div}}\,{\vec {b}}=0$
${\rm {div}}\,{\vec {e}}={\frac {\eta }{\epsilon _{0}}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {e}}=-{\frac {\partial {\vec {b}}}{\partial t}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {b}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {e}}}{\partial t}}$

avec :

${\vec {e}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}{\vec {e_{i}}}({\vec {r}},t)$ le champ électrique total
${\vec {b}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}{\vec {b_{i}}}({\vec {r}},t)$ le champ magnétique total
$\eta ({\vec {r}},t)=\sum _{i}q_{i}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}(t))$ la densité volumique de charge
${\vec {j}}({\vec {r}},t)=\sum _{i}q_{i}{\vec {v_{i}}}(t)\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}(t))$ la densité volumique de courant

Ces équations sont microscopiques (mais historiquement elles ont été donné sous leur forme macroscopique), cependant en pratique on utilise souvent leurs versions macroscopiques, que l’on va formuler ici. Pour cela, on moyenne les sources et les champs sur une région spatiale petite devant les fluctuations de composition de la matière et de la longueur d'onde du champ microscopique, et grande devant les fluctuations inter-atomiques de ce dernier.

On note ces grandeurs moyennes :

$\rho =\langle \eta \rangle$
${\vec {J}}=\langle {\vec {j}}\rangle$
${\vec {E}}=\langle {\vec {e}}\rangle$
${\vec {B}}=\langle {\vec {b}}\rangle$

Suivant les besoins, on peut proposer deux formulations.

Première formulation[modifier | modifier le wikicode]

Équations de Maxwell macroscopiques

${\rm {div}}\,{\vec {B}}=0$
${\rm {div}}\,{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

Elles sont identiques aux équations microscopiques.

Seconde formulation[modifier | modifier le wikicode]

Le problème de la première formulation et que l’on ne connaît jamais les sources intégralement ( $\rho$ et ${\vec {J}}$ ). On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

On ne connait pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note $\rho _{\rm {lie}}$ et ${\vec {J}}_{\rm {lie}}$ leurs densités volumiques respectives)
On connait en général les charges et les courants libres du milieu (on note $\rho _{\rm {libre}}$ et ${\vec {J}}_{\rm {libre}}$ leurs densités volumiques respectives)

On a ainsi :

$\rho =\rho _{\rm {lie}}+\rho _{\rm {libre}}$
${\vec {J}}={\vec {J}}_{\rm {lie}}+{\vec {J}}_{\rm {libre}}$

On définit alors les champs macroscopiques suivant :

la polarisation, notée ${\vec {P}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale
l'aimantation, notée ${\vec {M}}$ et définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique totale

On peut démontrer que :

$\rho _{\rm {lie}}=-{\rm {div}}\,{\vec {P}}$
${\vec {J}}_{\rm {lie}}={\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {M}}+{\frac {\partial {\vec {P}}}{\partial t}}$

On définit enfin les champs macroscopiques suivant :

l'excitation électrique, notée ${\vec {D}}$ et définie par ${\vec {D}}=\epsilon _{0}{\vec {E}}+{\vec {P}}$
l'excitation magnétique, notée ${\vec {H}}$ et définie par ${\vec {H}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}-{\vec {M}}$

La séparation des sources et l'ajout des champs ${\vec {D}}$ et ${\vec {H}}$ ne font que masquer le problème car ils nécessitent deux équations supplémentaires, reliant ${\vec {D}}$ et ${\vec {H}}$ à ${\vec {E}}$ et ${\vec {B}}$ . On les nomme équations constitutives du milieu (la difficulté est de les déterminer).

Équations de Maxwell macroscopiques

${\rm {div}}\,{\vec {B}}=0$
${\rm {div}}\,{\vec {D}}=\rho _{\rm {libre}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$
${\overrightarrow {\rm {rot}}}\,{\vec {H}}={\vec {J}}_{\rm {libre}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$