Leçons de niveau 16

Introduction à l'élasticité/Introduction générale

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Introduction générale
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Introduction à l'élasticité
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Notions d'algèbre tensorielle
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction à l'élasticité : Introduction générale
Introduction à l'élasticité/Introduction générale
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

Image ESPI[1] d'une plaque carrée attachée et soumise à des vibrations.

Présentation[modifier | modifier le wikicode]

La théorie de l'élasticité concerne les déformations « élastiques » des solides, c'est-à-dire les déformations réversibles — généralement faibles — comme par exemple les vibrations d'une barre métallique ou de la surface d'un tambour.

Ce domaine de la physique, qui trouve des applications dans presque tous les domaines techniques — mécanique automobile, bâtiment, modules spatiaux… — est en fait relativement général et sert bien souvent d’introduction à la mécanique des milieux continus.

Prérequis et démarche[modifier | modifier le wikicode]

On part ainsi de l’idée que le lecteur a une certaine connaissance de la mécanique « classique » du point. Progressivement, la description continue de la matière nous conduira à utiliser des objets mathématiques appelés « tenseurs, » au sujet desquels une brève introduction est proposée.

Nous exporterons les équations de la dynamique newtonienne dans ce formalisme, ce qui nous donnera leur équivalent continu (l'équation de Navier) dont nous observerons certaines propriétés.

Le cas, particulier mais tellement utilisé des problèmes plans sera abordé.

Enfin, nous observerons sans nécessairement entrer dans les détails des calculs un certain nombre de phénomènes physiques — la concentration de contrainte, l'effet de gorge… — dont il est possible d’avoir une certaine intuition.

Tant que faire se peut, nous nous attacherons plutôt à obtenir les équations qui traduisent le problème physique, qu’à les résoudre. En effet, il s'avère que la résolution numérique de ces équations est souvent la seule alternative : on laissera donc le soin aux ordinateurs d'effectuer les calculs.

Une conséquence est que, bien souvent, les applications pratiques nécessitent des approximations et des règles empiriques — des critères — pour transposer les cas bien connus au problème réel. Les plus utilisés d'entre eux seront exposés.

Exercices[modifier | modifier le wikicode]

Un certain nombre d'exercices sont proposés tout au long du cours. Leur intérêt est multiple : présenter les notions du cours de manière plus concrète, en lien avec des applications pratiques, pour rendre leur intérêt plus évident, et permettre à l'élève de vérifier qu’il a acquis les notions développées au fur et à mesure. Enfin, ils présentent les méthodes par lesquelles certains problèmes peuvent être abordés.

Dans cette optique, les exercices peuvent être résolus avec l'aide du cours et de moyens de calculs (même de logiciels de calcul formel) et ne devraient pas représenter une trop grande difficulté, pour la plupart d'entre eux. Aussi, on ne peut que recommander aux élèves de s'y intéresser et d'y impliquer autant de temps qu’à la lecture du cours.

À la fin de la leçon, quelques « mises en situation » sont proposées, sur un format différent des exercices : il s'agit de questions simples qui pourraient être posées à un ingénieur dans ce domaine, comme l'étude d'une pièce soumise à des efforts, ou la question du dimensionnement.

Pour aller plus loin[modifier | modifier le wikicode]

L'élasticité en soi est encore un domaine de recherche actif, qui concerne de nombreux problèmes d'ingénierie — mais également de biophysique (morphogénèse des plantes) de médecine (rupture et vieillissement des os), d'astrophysique (limite de Roche), de géologie — tout ce qui implique des solides se déformant est susceptible de relever de l'élasticité. Cependant, la théorie sous-jacente et assez détaillée est souvent trop complète pour les applications courantes. Ce cours d'introduction, qui présente les bases de la mécanique des milieux continus du point de vue de l'élasticité, ouvre en fait la voie :

  • à la mécanique des solides (robotique…), en faisant une hypothèse mais en conservant le formalisme ;
  • à la mécanique des structures (ponts, tours…), ici encore en ajoutant une hypothèse ;
  • à la mécaniques des sols ;
  • à la mécanique des fluides (réacteurs…), ce qui nécessite de revoir une partie de la cinématique.

Pour ce qui est de la mise en pratique de ces connaissances, qui bien souvent passe par la simulation numérique, on pourra s'intéresser aux méthodes de simulation par éléments finis.

Historique[modifier | modifier le wikicode]

L'étude des propriétés élastiques des solides est ancienne : elle précède celle de la mécanique du point (si on l'attribue à Newton). La théorisation, pour l'essentiel réalisée au cours du XIXe siècle, a synthétisé et expliqué les observations expérimentales.

Notations et conventions[modifier | modifier le wikicode]

Notations[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce cours, de nombreux objets mathématiques vont se croiser et leur nature (scalaire, vecteur, tenseur…) est souvent importante. Les notations étant de plus parfois variables d'un auteur à l'autre on adopte ici la convention anglo-saxonne, la plus pratiquée :

  • les quantités scalaires, réelles ou complexes sont notées en italique :  ;
  • les quantités vectorielles sont notées en minuscules grasses :  ;
  • les quantités tensorielles seront notées en majuscules grasses, en lettres grecques grasses ou en lettres sans-sérif grasses : .

Par ailleurs :

  • le produit (scalaire, matriciel) est noté par un point :  ;
  • le produit vectoriel est noté par une croix :  ;
  • le produit tensoriel est noté par une croix cerclée : .

Enfin :

  • la transposée d'une matrice M est notée MT ;
  • le tenseur unité est noté 1 ;

Pour dire que deux notations ou deux énoncés sont équivalents, nous utiliserons le symbole «  ».

Conventions[modifier | modifier le wikicode]

Bien souvent, nous travaillerons dans l'espace usuel, avec des coordonnées cartésiennes. Dans ce cas, il arrive régulièrement que certaines expression s'écrivent comme la somme d'un terme en x, d'un terme en y et d'un terme en z.

Pour abréger certains calculs, nous utiliserons la convention de sommation d'Einstein, à savoir :




Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs est explicité sous la forme compacte suivante :

Au lieu d'écrire :

Remarques et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Electronic Speckle Pattern Interferometry, interférométrie des tavelures électroniques.