Leçons de niveau 13

Initiation aux matrices/Applications aux suites

Une page de Wikiversité.
Aller à : navigation, rechercher
Début de la boite de navigation du chapitre
Applications aux suites
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Initiation aux matrices
Chap. préc. :Puissance d'une matrice
Chap. suiv. :Sommaire

Exercices :

Applications aux suites
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Initiation aux matrices : Applications aux suites
Initiation aux matrices/Applications aux suites
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans ce chapitre, nous allons voir ce que peut apporter les matrices à l'étude des suites. Nous commencerons par l'étude des suites croisées et nous finirons par des applications concrètes comme l'étude des flux migratoires où les parcours aléatoires dans les graphes.

Suites croisées[modifier | modifier le wikicode]

Supposons que nous ayons plusieurs suites , , , etc. Nous dirons que ces suites sont croisées si la définition de l'une d'elles dépends des autres.

Par exemple, trois suites , , peuvent être définies par :

Nous voyons qu'au rang n, les termes de la suite, pour chaque suite, dépendent des termes au rang n - 1 des autres suites. Nous pouvons alors regrouper les trois suites en une seule écrite sous forme matricielle et nous aurions pu écrire :

Soit une suite de matrices colonnes d'ordre trois ainsi définie :


Plus généralement, nous pouvons écrire :

avec


Nous voyons que nous avons alors :

où nous voyons que trouver l'expression de en fonction de dépend du calcul de la puissance n-ième d'une matrice.


Exemple d'exercice type[modifier | modifier le wikicode]

Nous donnons dans ce paragraphe une suite de questions, qui s'enchaînent, constituant un exercice complet à bien savoir faire :

Question mark white icon.svg

Question

Soit une matrice définie par :

Montrer que est inversible en calculant son inverse.

WP SOPA Arrow right ffffff.png

Réponse

Si l'on traduit l'expression matricielle :

par un système, on obtient :

il nous suffit alors d'exprimer et en fonction de et .

Nous trouvons :

qui se traduit matriciellement par :

On en déduit :

Question mark white icon.svg

Question

Soit une matrice diagonale définie par :

Calculer la matrice définie par :

WP SOPA Arrow right ffffff.png

Réponse

On a :

Question mark white icon.svg

Question

Calculer

WP SOPA Arrow right ffffff.png

Réponse

Question mark white icon.svg

Question

Soit deux suites et définies par :

Calculer et en fonction de et

WP SOPA Arrow right ffffff.png

Réponse

Matriciellement, on peut écrire :

Ce qui, de proche en proche, permet d'écrire :

Compte tenu de la question précédente, nous avons alors :

qui se traduit par :


Exemples d'applications[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous donnons quelques exemples d'applications concrètes des suites croisées pour mieux comprendre l'utilité des suites croisées dans le monde réel.

Étude des flux migratoires[modifier | modifier le wikicode]

Nous supposerons que nous avons un certain nombre de populations formées d'individus qui au bout d'un certain temps peuvent migrer vers une autre population. Pour fixer les idées, nous supposerons qu'il y a trois populations A, B et C dont les nombres d'individus à l'instant sont respectivement donnés par trois suites , , . , et donnent l'effectif initial des populations et représente, par exemple, le nombre d'années mais pourrait, tout aussi bien, représenter un autre laps de temps selon le problème auquel nous avons affaire.

Chaque année un certain pourcentage d'individu quitte une population pour rejoindre une autre population.


Traitons un exemple particulier et supposons que chaque année :

  • 3 % des individus de A intègre B.
  • 5 % des individus de A intègre C.
  • 1 % des individus de B intègre A.
  • 3 % des individus de B intègre C.
  • 2 % des individus de C intègre A.
  • 4 % des individus de C intègre B.


À la nième année :

Pour la population A, le nombre d'individus sera : .

Pour la population B, le nombre d'individus sera : .

Pour la population C, le nombre d'individus sera : .


Nous aurons donc le système :

Qui se traduit matriciellement par :

d'où l'on déduit :

Ce qui nous permet de calculer les effectifs des trois populations à la nième année.


Parcours aléatoires dans un graphe[modifier | modifier le wikicode]

Dans ce paragraphe, nous considérerons que nous avons un graphe, c'est à dire un certain nombre de sommets reliés ou pas par des arêtes.

Voici un exemple de graphe :

Block graph.svg

Nous supposerons qu'à chaque instant se trouve, sur un sommet, un mobile qui a la possibilité de se déplacer, à l'instant , sur un sommet voisin en suivant une arête. À l'instant , pour chaque sommet, on donne la probabilité que le mobile reste où il se trouve et les probabilités respectives qu'il a de se déplacer sur chaque sommet voisin accessible par une arête. À l'instant initial, le mobile est placé sur un sommet choisi et on le laisse se déplacer aléatoirement dans le graphe aux instants ultérieurs. L'objet de notre problème est de déterminer, pour chaque valeur de , la probabilité qu'il a de se trouver sur tel ou tel sommet.

Stochmatgraph.png

Prenons un exemple simple :

Considérons un graphe à trois sommets que nous numéroterons de 1 à 3.

  • Si le mobile est sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,05.
  • Si le mobile est sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 2 avec une probabilité de 0,4.
  • Si le mobile sur le sommet 1 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 3 avec une probabilité de 0,55.
  • Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,7.
  • Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 1 avec une probabilité de 0,1.
  • Si le mobile est sur le sommet 2 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 3 avec une probabilité de 0,2.
  • Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il y restera avec une probabilité de 0,1.
  • Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 1 avec une probabilité de 0,1.
  • Si le mobile est sur le sommet 3 à l'instant n, alors à l'instant n+1, il ira sur le sommet 2 avec une probabilité de 0,8.

Supposons qu'à l'instant 0 le mobile se trouve sur le sommet 1.


Soit , , trois suites indiquant les probabilités que le mobile a d'être respectivement sur les sommets 1, 2 et 3 à l'instant .

Comme nous savons qu'à l'instant 0 le mobile est sur le sommet 1, nous aurons déjà :


Si l'on pose :

l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 1 ».

l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 2 ».

l'événement « À l'instant n, le mobile est sur le sommet 3 ».

nous voyons qu'à l'instant n-1, le mobile est nécessairement sur l'un des trois sommets et, par conséquent, un et un seul des événements , ou est réalisée. , et constitue donc un système complet d'événements. On peut donc appliquer la formule des probabilités totales. On a donc :

En utilisant les probabilités données dans l'énoncé, on obtient :

Que l'on peut traduire matriciellement par :

d'où l'on déduit :

Comme à l'instant 0, le mobile est sur le sommet 1, on obtient finalement :

Qui nous permet de calculer les probabilités que le mobile se trouve sur un des trois sommets à tout instant.


30x-Checkmark.png

Remarque.

Dans les deux exemples qui précédent, nous remarquons que dans les deux matrices obtenues, la somme des coefficients de chaque colonne est égal à 1. Les matrices vérifiant cette propriété sont appelées matrice stochastique. On peut montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique.