Initiation à l'élasticité/Introduction

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Qu’est ce que la mécanique des milieux continus ?

La mécanique est la science du mouvement et de l'équilibre des corps. Dans le cadre de ce cours le "corps" est un milieu continu.

Définition d'un milieu continu

Un milieu continu

Un milieu continu est un volume de matière que l’on peut décrire en utilisant les notions mathématiques de continuité.

L'objectif est d’utiliser les outils mathématiques existants et des les appliquer à une réalité : la matière qui se déforme, ceci pour décrire et prédire son comportement.

Allons un peu plus loin dans la définition d'un milieu continu en observant un volume de matière :

• eau qui s'écoule,
• lave ou métal en fusion,
• corde de guitare en vibration,
• poutre dans un bâtiment,
• pédale de bicyclette.

De cette observation se dégage une impression visuelle de continuité (au sens commun du terme) de la matière et de son mouvement.

• 
  Eau qui s'écoule.
• 
  Pédale de bicyclette.
  Auteur : Wolfgang Sauber

Et, pourtant, si l’on y regarde de plus prêt, la matière n’est pas continue...
En observant par exemple la surface de rupture de la pédale de bicyclette, la rugosité donne une impression de discontinuité. Si on observe cette surface au microscope, on verra apparaître les grains du métal, une structure discontinue. Si on observe les grains avec un microscope à transmission on verra apparaître les atomes. La matière est alors clairement discontinue : au niveau d'un atome la densité est très grande, entre deux atomes, c’est le vide.

• 
  Rupture d'une pédale de bicyclette.
  Auteur : Lokilech
• 
  Grains dans un acier, Les couleurs traduisent des orientations cristallographiques différentes.
• 
  Atomes organisés dans un cristal.
  Auteur: Steve Jurvetson

L'expression "milieu continu" contient donc deux mots contradictoires. Le mot "milieu" fait référence à la matière, c’est une réalité physique et la matière est discontinue, quand l'adjectif "continu" fait référence aux outils mathématiques utilisés pour décrire ce milieu. L'utilisation de la notion mathématique de continuité et des outils qui y sont reliés (analyse, algèbre) permet une modélisation pratique et très utile de la matière dans beaucoup de domaines et pour beaucoup d'applications. Il est donc souhaitable de se placer dans les conditions qui permettent d’utiliser ces outils mathématiques. Pour répondre à ces objectifs, un volume élémentaire de matière est donc défini :

• ce volume est suffisamment grand pour lisser les discontinuités de la matière,
• ce volume est suffisamment petit par rapport au volume total de la matière considérée dans le cadre des objectifs de la modélisation souhaitée pour que les outils mathématiques de continuité et de différentiation puissent être utilisés.

Choix d'un volume élémentaire pour la description d'un métal. Le volume est le plus petit volume possible qui contienne un nombre représentatif de grains métalliques.

S'il n’est pas possible de définir un tel volume pour un milieu donné, alors, ce n’est pas un milieu continu et il faudra utiliser d'autres outils pour sa modélisation. Prenons l'exemple d'un tas de sable : est-ce un milieu continu ?

• oui, si l’on considère un grand volume de sable par rapport à la taille d'un grain de sable et que le phénomène à modéliser n'a pas besoin de prendre en compte le grain (par exemple l'écoulement du sable dans un sablier).
• non si l’on considère un petit volume de sable ou si le phénomène à modéliser doit prendre en compte le grain (par exemple, quand on passe du sable au tamis, le volume de sable est important, mais la taille du grain doit être prise en compte dans la description du milieu).

• 
  'Tas' de sable.
  Auteur : Antava
• 
  Sablier: le sable qui s'écoule peut être considéré comme un milieu continu.
  Auteur : S Sepp

Description géométrique d'un milieu continu

Les outils mathématiques de la description de l'espace en trois dimensions sont utilisés pour décrire un milieu continu. Les notions géométriques de point, de surface et de volume sont donc utilisées. Les hypothèses de la mécanique non relativiste dite "classique" sont retenues. Un repère orthonormé est associé à cet espace 3D avec une origine O. Une échelle des temps t avec une origine des temps, nommée aussi "instant initial", sont aussi définis.

Qu’est ce qu'un volume pour un milieu continu ? - notion de configuration-

Le volume V est le volume de matière considérée dans sa totalité. Il doit être défini a priori puisqu’il correspond à l’objet de l'étude. Il correspond à l’ensemble de la matière que l’on veut étudier, c'est-à-dire l’ensemble des volumes représentatifs que l’on veut considérer et qui sont identifié par la matière qui les constitue à un instant donné; comme si l’on pouvait marquer l’ensemble des atomes que l’on veut étudier à un instant donné.
On dit couramment que l’on "isole" un volume de matière, il constitue "le système", objet de l'étude. C'est ce choix qui défini "le milieu extérieur" (ce qui n’est pas le volume de matière choisie) par rapport au "milieu intérieur" : ce qui correspond à la matière choisie pour l'étude. Ce vocabulaire deviendra important pour définir les forces que le milieu extérieur exerce sur le volume choisi. C'est aussi ce choix qui va définir l'échelle du système et la taille du volume élémentaire.

Ce volume de matière se déplace et se déforme au cours du temps. On définit alors la notion de configuration. C'est le volume occupé par la matière choisie à un instant t donné. Différentes configurations existent pour le volume choisi :

• La configuration de référence est la configuration qui a permis de définir le volume de matière que l’on étudie.
• La configuration initiale est la configuration à l'instant initial.
• La configuration actuelle est la configuration à l'instant t, instant auquel l'observateur s'intéresse au système.
• La configuration finale est la dernière configuration (dans le temps) qui concerne l'observateur. La configuration finale, correspond de plus à un état pour lequel une caractéristique du volume de matière a atteint un état stable ( soit la matière ne se déplace plus, soit la matière ne se déforme plus...). Il n'existe pas forcément de configuration finale pour un système donné.

On choisit le plus souvent l'origine des temps comme étant l'instant auquel on a défini la matière, de telle sorte que la configuration initiale et la configuration de référence sont confondues.

Qu’est ce qu'un point dans un milieu continu ?

Le point dans un milieu continu correspond au volume élémentaire défini pour décrire le milieu continu. Il est dit représentatif, car il comprend suffisamment de matière pour représenter correctement le milieu choisi. C'est l'unité de base pour la description d'un milieu continu. C'est un point au sens mathématique du terme car il est identifié et repéré comme tel, mais c’est un point qui a une masse. On définit la masse volumique ρ de ce point. Si l’on considère que ce point a une masse, c’est qu’il est associé à une quantité de matière, il a donc un volume. Ce volume est noté dV, le "d" traduit la notion de différentielle en mathématique. Cette définition de "point qui a une masse", a priori contradictoire, permet la modélisation de la matière grâce à l’utilisation des outils de l'analyse et de l'algèbre. Suivant les domaines de la physique ce point porte des noms différents :

• En mécanique des milieux continus générale et pour étudier les éléments finis on parle de :
  • volume élémentaire représentatif (VER),
  • élément de volume représentatif (EVR).
• En mécanique des fluides on parle de :
  • particule (de fluide).
• En physique on utilise plutôt les termes de :
  • point matériel,
  • point cinématique.

Toutes ces expressions font référence à la même notion physique. L'expression de "point matériel" fait particulièrement bien ressortir la dualité entre la modélisation mathématique faite par la notion de point qui n'a, par définition, pas de volume, et la nécessité physique de prise en compte de la masse grâce au mot "matériel" qui veut dire ici "qui contient de la matière". Par abus de langage, le mot "point" est souvent utilisé pour faire référence à ce point matériel.

On utilise les points de l'espace mathématiques pour repérer les points matériels du milieu considéré. Quand un volume élémentaire représentatif occupe un point M de l'espace à un instant donné, on dit que ce volume est centré sur M. Le point matériel et le point M de l'espace qu’il occupe sont, par abus de langage, souvent confondus.

Qu’est ce qu'une surface pour un milieu continu ?

Le volume choisi est limité par des surfaces. Ces surfaces peuvent correspondre :

• à une interface entre deux éléments de matière. On parle alors de "surfaces réelles" ou de "surface extérieure".
• à une surface fictive prise à l'intérieur du volume de matière; la surface est alors choisie pour connaître les grandeurs mécaniques à l'intérieur d'un volume de matière.

On définit ensuite un élément de surface représentatif dS sur la matière du milieu considéré. La définition de cet élément de surface est calquée sur la définition du point matériel : c’est une surface suffisamment petite pour être considérée comme une différentielle de surface au sens mathématique mais suffisamment grande pour être représentative de la surface du milieu. La surface représentative est dite "centrée sur un point M" de l'espace pour pouvoir la repérer. Pour un point matériel donné, centré sur M, il existe une infinité de surfaces élémentaires centrées sur ce même point M. Pour identifier une surface on utilise un vecteur unitaire normal localement à dS en 'M'. Le sens de ce vecteur est défini par rapport à la matière : il est toujours dirigé vers l'extérieur de la matière. Ce vecteur est souvent nommé "la normale à dS en M". L'élément de surface est donc représenter par un vecteur surface $\scriptstyle {{\vec {d}}S}$ tel que :

${\vec {d}}S={\vec {n}}\ dS$

Qu’est ce qu'un solide élastique ?

Pour un solide il existe différents états de références sans sollicitation extérieure. Un solide élastique reprend sa forme initiale, définie par l'état de référence, quand une sollicitation cesse après avoir été appliquée.

Dans quels domaines technologiques ces notions sont elles utiles ?

Lorsque l’on réalise la conception d’une pièce on se trouve face à une contradiction entre la recherche de l'optimisation des coûts et la recherche de l'optimisation de la résistance de cette pièce.

Calculs de résistance et des déplacements

Pour définir la résistance d'un matériau on utilise la notion de contrainte.
Notion donnée par:

$Contrainte={Force \over Surface}$

Un exemple de modélisation : la bielle

Afin de réaliser la modélisation il faut :

• Définir les entités qui respectent:
  • Les contraintes,
  • Les déplacements,
  • Les déformations.
• Il faut écrire les équations qui respectent:
  • Les principes mécaniques,
  • Le matériau,
  • Les sollicitations.

Géométrie et sollicitations d'une bielle

Pour définir la forme initiale d'un solide on utilise la description de la géométrie et des fonctions mathématiques:

• Le Volume V,
• La Surface S,
• Le vecteur normal à S : $||{\vec {n}}||=1$ $\perp$ à dS en M, où S est un point de S dirigé vers l'extérieur du volume.