Leçons de niveau 14

Initiation à l'élasticité/Forces et contraintes

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
Forces et contraintes
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Initiation à l'élasticité
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Déformations
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Initiation à l'élasticité : Forces et contraintes
Initiation à l'élasticité/Forces et contraintes
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Force[modifier | modifier le wikicode]

Vocabulaire[modifier | modifier le wikicode]


Dans la littérature, on retrouvera différents termes désignant la force, par exemple la sollicitation, l’effort ou éventuellement l’actions mécaniques. Dans cette leçon, nous parlerons de force.
M centré sur un élément dS
M centré sur un élément dV

On distingue deux types de forces :

  1. Les actions mécaniques ou efforts de contact qui s’exercent sur une surface : Forces de Surface.
  2. Les actions mécaniques ou efforts à distance qui s’exerce sur un volume : Forces de Volume.

La représentation mathématique d'une force se fait par un vecteur qui s'applique au point M.

M est centré au choix sur :

  • un élément dS (Force de Surface),
  • un élément dV (Force de Volume).

 : la norme représente la valeur de la force en Newton. Pour connaitre la dimension d'une force on effectue:

Ensembles de force[modifier | modifier le wikicode]

Parmi les efforts de surface il y a les efforts de cohésion qui représentent les efforts générés par la matière pour rester cohérente. Si les efforts dans la pièce mécanique dépassent les efforts de cohésion limites, la pièce casse.

Un champ de vecteur : ensemble de vecteur défini sur un volume de l'espace

Exemple: On entendra par champ de force, l’ensemble des forces sur une surface (x,y,z) (autre exemple : le champ de vitesse,...)

Densité de forces : force linéique appliqué sur une poutre

on décrit une force par l'intermédiaire d'une densité
F/longueur
F/surface "densité de force" → même dimension qu'une contrainte
F/volume

Soit un volume de surface S de volume n de normal Sur cet objet sont appliquées des forces (de surface, de volume). Ces forces là qui sont appliquées sur la surface extérieur de l’objet sont appelée densité de force si nécessaire.

Les forces de cohésion ne sont pas décrites par des densités de force mais par des contraintes.


Torseur des efforts :

Résultante d'un champ de force en un point:
A
Torseur de en A


Résultante de force[modifier | modifier le wikicode]

La force de résultante (force ponctuelle) est toujours la résultante d’un ensemble de forces de surface.

Vecteurs Contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

La notion de vecteur contrainte est plutôt relié aux forces de cohésion. On se place à l’intérieur d’un volume de matière.

Soit M un point de V autours duquel on définit ΔS surface de ΔV

Sur ΔS existe un champ de force de cohésion Δ (ce n’est pas une densité de force) Δ s’exerce sur cette surface la qui passe par M, on définit ΔS par la normal en M.

= Force qui s’exerce au point M sur la surface de normal Principe de la mécanique classique :

est le vecteur contrainte qui s’exerce en M sur la surface de normal

Champ de contraintes.JPG

On définit alors le vecteur contrainte comme ceci:

Cette définition est une définition théorique, en pratique on détermine par d'autres moyens, notamment avec les équations de la mécanique et on utilise l'équation précédente pour trouver  :

est une force extérieure au système et donc est la contrainte extérieure qui est appliquée sur la surface considérée. On définit un champ de contraintes , c’est l’ensemble des vecteurs contraintes définis sur V, le volume.

Représentation et décomposition[modifier | modifier le wikicode]

La représentation de

  • dépend au total de 5 paramètres :
3 paramètres pour les coordonnées du point M
2 paramètres pour la surface (coordonnées de
  • Expression de la dimension de la contrainte :
  • L'unité de la contrainte est le Pascal.
  • L'ordre de grandeur de la contrainte dans un métal est le MPa.
Champ de contraintes2.JPG

La décomposition de

Lien entre l'outil mathématique et la réalité. On définit un repère local à partir de .

On va exprimer par rapport à en M. La décomposition de se fait sur ce repère. On écrit :


Avec  : contrainte normale.
 : contrainte tangentielle de cisaillement. Méthode pour calculer et  :

Dans certains ouvrages on définit , un vecteur tangent unitaire

  • Conditions pour définir  :
pour définir la direction
sens repère direct

On définit cette décomposition par intérêt pratique et physique mais aussi pour introduire les notions de pression et de cisaillement. On observe en pratique que les materiaux sont plus sensibles au cisaillement.

Pression[modifier | modifier le wikicode]

La Pression PAmbiante est supérieure à 0 et elle génère un vecteur contrainte toujours normal à la surface S et dirigée vers S.

Avec le vecteur normal à S, on écrit alors pour un objet uniquement soumis à la pression :

Tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Motivation[modifier | modifier le wikicode]

Pour comprendre les problèmes posés par la représentation des contraintes on doit déterminer quelle est la surface à prendre en compte lorsque l’on considère:

Soit une plaque:

Plaque 1.JPG


Quelle est la contrainte appliquée en M ? Première approche :

On choisit

appliquée sur

On définit une surface qui passe en M grâce à son vecteur normal en M:

Plaque S1.JPG

On choisit un repère centré en M, orthonormé cartésien choisi en fonction de la géométrie de la pièce et des sollicitations. Soit avec

S la section (surface) est définie par M et . Pour déterminer quel est le vecteur contrainte en M sur S il faut déterminer la force appliquée par l'extérieur sur S.

Par équilibre, sur S l'effort est : réparti sur S; et la résultante de est opposée à la résultante de

Forces resultantes.JPG

La force appliquée en d'où Soit l'épaisseur et la hauteur on a :

et

varie suivant la surface choisie Lorsque l’on parle d'un vecteur contrainte en un point M il faut préciser la surface sur laquelle il est appliqué:

  • On souhaite définir un outil mathématique qui permet de décrire la contrainte en M sans avoir à préciser la surface.
  • Comment définir mathématiquement un vecteur en M avec une définition cohérente de la surface S ?

Définition du tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Le tenseur des contraintes est par définition un outil mathématique qui permet de définir complètement l'état de contrainte en un point M.

Attention aux notations :

Le tenseur des contraintes est généralement noté
​ Il ne faut pas confondre :

  • la contrainte normale
  • le tenseur des contraintes
  • le vecteur contrainte

est représenté par une matrice carrée 3x3 (espace 3D) dans un repère donné.

(O,,,)

Définition implicite du tenseur des contraintes  :

Intérêt du tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Considérons la relation dans le cas d'une poutre en traction simple :

Contrainte sur un barreau.JPG

Soit le tenseur donné : (O,,,)
​ L'effort est appliqué sur la poutre selon l'axe
​ Soit le vecteur normal : Soit le vecteur contrainte : Expression de la contrainte normal sur

Contraintes principales, directions principales et invariants du tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

On part d'un défini en un point M, en 3 dimensions. On suppose que est symétrique.
​ La matrice qui représente admet alors 3 valeurs propres et 3 vecteurs propres.

  • Les valeurs propres définissent les contraintes principales
  • Les vecteurs propres définissent les directions principales

Convention de notation: est la plus grande.


Remarque: Dans les directions principales

  • le tenseur est diagonal,
  • Sur les faces normales aux directions principales :

Remarque: On définit les invariants de  :

Valeurs propres en 2 dimensions :

Valeurs propres en 3 dimensions:

Tous les repères dans lesquels sera exprimé, sont toujours les mêmes (mêmes valeurs).


Interprétations et représentations du tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Interprétation des représentations du tenseur des contraintes dans différents repères[modifier | modifier le wikicode]

Le tenseur des contraintes représente l’état de contrainte en M.

Intérêt du choix d’un repère : le choix du repère doit être fait intelligemment car il permet de simplifier les calculs. Le même tenseur et peut en effet être représenté par des matrices dans différents repères :

(O,,,)
(O,,,)
(e1,e2,e3)


Interprétation des termes du tenseur des contraintes dans différents repères[modifier | modifier le wikicode]

Dans tout repère 2D :

(O,,)

Selon la notation classique :

xy
x représente le nombre de ligne
y représente le nombre de colonne

Remarque : Le tenseur des contraintes est symétrique donc xy=yx On calcul ,, pour différentes forces : () ;  ;  ; =xx ;

() ;  ;  ; =yy ; Les termes diagonaux de correspondent aux contraintes normales sur les forces qui ont pour vecteur normal, les vecteurs de base du repère choisi pour exprimer .

Les termes non diagonaux de correspondent aux contraintes tangentielles sur les mêmes forces. Dans le repère principal :

(e1,e2,e3) Les contraintes principales correspondent aux contraintes normales sur les forces qui ont pour normal les directions principales.

Les contraintes tangentielles sont nulles sur les forces qui ont pour normal les directions principales.

Si sur une face, alors le vecteur normal à cette force est direction principale. Force libre →

→ normal à la force de direction principale.

Même raisonnement si les efforts appliqués sont perpendiculaires à la face.

« Force libre » : aucune sollicitation extérieure appliquée sur cette face On a définit

C’est un champ de contraintes : il est défini en chaque point M d’une pièce et a priori différent en chaque point.

On a défini :

  • contrainte principale (valeur propre)
  • direction principale
  • la signification des termes


Décomposition du tenseur des contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Parfois on décompose :


→ plutôt en mécanique des fluides ou en plasticité

Mathématiquement on définit la partie sphérique et la partie déviatrice de

Partie sphérique de [modifier | modifier le wikicode]

Par définition la pression ambiante de l'air dans/sur un matériau est :

avec le tenseur de contrainte associé à une sollicitation par pression ambiante p dans toutes les directions et sur toutes les faces.

Exple pression ambiante.JPG

On est dans un état hydrostatique on a le tenseur de contrainte suivant:

et

où 3 est la moyenne des termes de la diagonale.

représente la sollicitation en pression toujours perpendiculaire à la surface.

Dans les cas des fluides

Partie déviatrice ou déviateur de [modifier | modifier le wikicode]

et  : parallèle.

représente les sollicitations tangentes. Utilité :

  • description des fluides,
  • plasticité,
  • critères de résistance.

La partie déviatrice est la partie la plus dangereuse.

États de contraintes particuliers[modifier | modifier le wikicode]

On choisit des sollicitations simples et on détermine

État de traction simple[modifier | modifier le wikicode]
Contrainte sur un barreau.JPG

On veut déterminer le tenseur des contraintes en tout point M de la barre. Le vecteur appliqué par l'extérieur sur la face normale .

C'est le vecteur . Ceci est vrai pour toute surface S' parallèle à , par équilibre.

Sur les surfaces et rien n'est appliqué et on a

On est dans un état de compression / traction simple.

Un seul des éléments diagonaux de est non nul.

États de cisaillement pur[modifier | modifier le wikicode]

La plaque est obligatoirement carrée pour des raisons d'équilibre des résultantes des forces.

Cisaillement pur.JPG
  • en

et

  • en

on a donc :

État plan de contraintes[modifier | modifier le wikicode]
Plan de contrainte.JPG

On passe de 3 dimensions à 2 dimensions.

On prend en exemple un plan en traction / cisaillement. Les sollicitations sont toutes dans le même plan

  • Remarque:

cette forme de matrice est caractéristique de l'état de plan de contraintes.

Cercle de Mohr[modifier | modifier le wikicode]

voir lien ci-dessous pour plus d'information :

Introduction à l'élasticité/Contraintes#Représentation de Mohr

Ellipsoïde de Lamé[modifier | modifier le wikicode]

Ellipsoïde de Lamé.JPG

Ellipsoïde de Lamé : représentation graphique de l’ensemble des vecteurs contraintes associés à un tenseur des contraintes, en un point d'un volume. Dans tous les cas on se place dans le repère principal en 3 dimensions.

 ; sur une face de normale or Dans le repère principal.

Représentation graphique et physique de à partir de [modifier | modifier le wikicode]

Par définition On injecte ça dans (*) :

Définition des conditions limites sur les contraintes[modifier | modifier le wikicode]

Il faut connaitre les sollicitations appliquées sur le volume considéré (sollicitations définies par des efforts ou des vecteurs contraintes). Il faut faire le bilan des actions mécaniques sur V.

  • Exemple:
Bilan action méca forme 1.JPG
Bilan action méca forme 2.JPG

La forme du volume influence .

Il faut définir la forme du volume pour définir les contraintes limites. Il faut donc définir les équations des surfaces extérieures au volume.

Remarque: Les forces de volume n'interviennent pas dans les conditions limites (par exemple le poids).

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Digue.JPG

L'objectif de cet exemple est d'écrire les contraintes limites sur la digue.

  1. Faire le bilan des actions mécaniques connues:
  • pression de l'eau :
Pression de l'eau.JPG
  • Poids :
  • Réaction du sol.
  • Pression atmosphérique : toujours négligée car très inférieure aux contraintes mises en jeu.
  1. Écrire les contraintes limites:

On doit faire cette démarche pour toutes les faces du systèmes.

Contraintes sur chaque face.JPG
  • Face 1: équation :
    • où K est une constante correspondant à la pression de l'eau.
  • Face 2:
    • car la pression atmosphérique est très faible et donc négligée.
  • Face 3 :
    • n’est pas connu.
Exemple de contraintes limites sur une poutre encastrée[modifier | modifier le wikicode]
Poutre encastrée.JPG

1 et 2 sont 2 matériaux soudés. La section carrée est de longueur 2a ; le volume correspond aux deux matériaux ; la sollicitation extérieure est en M.

  • Contraintes pour les faces suivantes:
Face 1.JPG

  • Contraintes pour les faces:
Face2.JPG

en y : en z :

    • Conséquences sur :

Sur les faces concernées on a:

d'où

On ne peut rien dire d’autre sur les autres termes de

  • Contrainte sur la face  :

Cela correspond à l'effort appliqué en un point. On va chercher à déterminer .

Théorème de Saint-Venant[modifier | modifier le wikicode]
Début d’un théorème
Fin du théorème
Saint-Venant.JPG
Fin de l'exemple de la poutre[modifier | modifier le wikicode]

Il faut trouver une sollicitation dont les résultantes sont égales aux résultantes de et qui permet de définir Si alors la contrainte de traction est la même dans les deux poutres.

Résultante poutre.JPG

sur y dont les moments des deux types de sollicitations sont égaux.

  • Face

est réparti et constant sur toute la face et tel que

  • Conséquences sur

d'où

  • Interface .
Contraintes à l'interface.JPG

On ne connait pas exercé par 1 sur 2 mais on sait que
(loi d'action-réaction).

  • Conséquence sur
    • tenseur des contraintes dans le matériau 1.
    • tenseur des contraintes dans le matériau 2.

avec

On obtient la relation vectorielle : On obtient trois équations sur les composants:

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

Les conditions limites sur les contraintes concernent le vecteur contrainte qui est appliqué par l'extérieur sur le volume considéré.

Analyse des conditions aux limites[modifier | modifier le wikicode]

L’analyse des conditions aux limites consiste à traduire une sollicitation complexe à géométrie complexe en une condition limite (notée CL dans les exemples de ce cours) que l’on peut écrire mathématiquement « simplement » par un code élément fini.

Exemple :

Analyse des conditions aux limites 1.jpg


CL en x=0 → (x=0)=

Analyse des conditions aux limites 3.jpg
Analyse des conditions aux limites 2.jpg

Quelles est la construction mécanique (technologique) utilisée pour l’encastrement ?

Si on a réalisé l’encastrement avec des équerres, le modèle =(x=0)n’est pas strictement représentatif.
Si on a réalisé l’encastrement avec une soudure , le modèle =(x=0) est plus proche de la réalité.

On utilise le Principe de Saint Venant qui est démontré seulement pour l’élasticité.

(Attention : pas démontré en plasticité et faux pour les fluides.)

- Énoncé du principe :
​ Soit une distribution de forces agissant aux points M d’une surface (M)comprise sur la surface S1 du système étudié.

Analyse des conditions aux limites 4.jpg

Les éléments de réduction de cette distribution forment un torseur.
Si on remplace (M) par un autre centre de distribution (M) , toujours appliqué sur la même surface S1, telle que le torseur de en P est égal au torseur de en P. Les autres conditions aux limites restent inchangées. Alors, dans toutes régions de V « suffisamment » éloignée de S , les champs de contraintes et le déplacements sont « pratiquement » (pour la pratique) inchangés.

Analyse des conditions aux limites 5.jpg


Analyse des conditions aux limites 6.jpg

Même et qu'avec les équerres dans la zone entourée en vert.
1 et 2 même résultante et même moment qu'avec (M) équerre.
​ On peut s’éloigner d’une distance de même ordre de grandeur que S’ et on va retrouver des champs qui sont modifiés de – de 10%.
​ Exemple d'une plaque percée :

Analyse des conditions aux limites 7.jpg

Principe de Saint Venant utile pour simplifier les CL mais ne donne pas d’information sur ce qui se passe au niveau de la surface des CL. Comment le principe de Saint Venant s’utilise avec un torseur des contraintes ?

Sur la surface S

On a :

vecteur normal à s
dS

Torseur résultat sur S

dS
dS
Exemple :

Analyse des conditions aux limites 8.jpg

Force répartie pour fléchir une poutre dont la résultante est

CL : =?
dS =

Autre exemple :

Analyse des conditions aux limites 9.jpg

dS=0
ouple → dS = ouple
Conclusion : On sait résoudre ce problème d’élasticité.