Leçons de niveau 18

Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire

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Géométrie symplectique linéaire
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Chapitre no 1
Leçon : Géométrie symplectique
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire[modifier | modifier le wikicode]



Espace vectoriel symplectique[modifier | modifier le wikicode]



La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de ω est nul, ou encore, que ω réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.




En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n’est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique ω. Comme ω est non dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l’existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, l'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Structure complexe[modifier | modifier le wikicode]

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.




Alors :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration
Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d'une démonstration


Fin de la démonstration

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Sous-espaces d'un espace symplectique[modifier | modifier le wikicode]




On a ainsi plusieurs cas particuliers :




L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Réduction symplectique[modifier | modifier le wikicode]

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient .