Généralités sur les fonctions/Ensemble de définition

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Ensemble de définition

Définition

L'ensemble de définition d'une fonction f, noté $D_{f}$, est l’ensemble des nombres réels x pour lesquels l'image $f(x)$ est définie.

Remarques :

• L'ensemble de définition est partie intégrante de la fonction f :

si l’on change d'ensemble de définition, on change de fonction.

Exemple

Soit la fonction f définie sur $\mathbb {R}$ par $f(x)=x^{2}+1$.

Sa restriction à l'intervalle $[1;+\infty [$ est la fonction g définie sur $[1;+\infty [$ par $g(x)=x^{2}+1$.

Les fonctions f et g ne sont pas les mêmes, malgré le fait qu’elles soient définies par la même expression algébrique.

En effet, g possède des propriétés que f ne possède pas et réciproquement.

Ainsi, g admet un minimum de 2 atteint pour $x=1$, alors que pour f, cette valeur n’est pas un minimum.

De même, g est monotone (elle ne change pas de sens de variation) alors que f ne l'est pas.

Valeurs interdites

Définition

Soit $f(x)$ une expression algébrique.

• Une valeur interdite de $f(x)$ est une valeur de x pour laquelle l’expression algébrique n'a pas de sens ou ne peut pas être calculée.

Soit une fonction $f$ définie uniquement par l’expression algébrique $f(x)$.

Le plus grand ensemble de définition possible pour $f$ est l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R}$ privé des valeurs interdites de $f(x)$ :

$D_{fmax}=\mathbb {R} -\{valeurs\ interdites\}$

Exemple

Une fonction f définie uniquement par $f(x)={\frac {1}{x}}$ a pour plus grand ensemble de définition $]-\infty ;0[\cup ]0;+\infty [$, que l’on note usuellement $\mathbb {R} ^{*}$ .

Restriction et extension d'un ensemble de définition

L'ensemble de définition est en général donné par l'énoncé.

Il est possible que :

• Il soit plus restreint que le plus grand ensemble de définition possible pour l’expression algébrique de f.

Exemple :

Soit la fonction définie sur $[1;+\infty [$ par $f(x)=x^{2}+1$.

On pourrait agrandir l’ensemble de définition de f avec la même expression algébrique, mais alors ce ne serait plus la même fonction.

• Il soit étendu aux valeurs interdites par la donnée de valeurs exceptionnelles pour $f(x)$ ou par une autre expression.

Exemple :

Soit la fonction définie sur $\mathbb {R}$ par :

$f(x)={\sqrt {x}}$ si $x\geq 0$

$f(x)={\sqrt {-x}}$ si $x<0$

La fonction f est définie par morceaux en utilisant deux expressions différentes, de manière à ce que les valeurs interdites de chaque expression soit évitées.