Formule du crible/Rencontre du p-ième type

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Rencontre du p-ième type

Dans ce chapitre, nous allons étudier les rencontres du p-ième type que l’on peut modéliser de la façon suivante :

Soit une urne contenant pn boules. p boules portent le numéro 1, p autres portent le numéro 2, p autres portent le numéro 3, et ainsi de suite.

À côté de l’urne se trouvent n boîtes numérotées de 1 à n.

On tire les boules sans remise en mettant les p premières dans la première boîte, les p suivantes dans la deuxième boîte, et ainsi de suite jusqu'à ce qu’il y ait p boules par boîte.

On dira qu’il y a une rencontre dans la boîte numéro i si les p boules de cette boîte portent le même numéro.

Soit A_i l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte numéro i.

A_i ∩ A_j est alors l’événement : Il y a une rencontre dans la boîte i et une rencontre dans la boîte j.

A_i ∪ A_j est l’événement : Il y a une rencontre dans au moins une des deux boîtes i ou j.

En procédant de façon similaire aux rencontres du troisième type (le lecteur est invité à le faire à titre d'exercice), on établit le théorème suivant :

Début d’un théorème

Théorème

Soit pn objets appariés p à p. La probabilité de r rencontres du p-ième type entre ces pn objets est :

${\frac {(p!)^{r}}{r!}}\times {\frac {n!^{2}}{(pn)!}}\times \sum _{k=0}^{n-r}\left({\frac {(-p!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(pn-pr-pk)!}{(n-r-k)!^{2}}}\right)$.

Fin du théorème

Rencontre du n-ième type

En faisant p = n dans le théorème précédent, on obtient :

Corollaire

Soit n² objets appariés n à n. La probabilité de r rencontres du n-ième type entre ces n² objets est :

${\frac {(n!)^{r+2}}{r!(n^{2})!}}\times \sum _{k=0}^{n-r}\left({\frac {(-n!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(n^{2}-nr-nk)!}{(n-r-k)!^{2}}}\right)$.