Formule du crible/Exercices/sur les rencontres du p-ième type

Sur un échiquier (8×8 cases) on dispose au hasard 64 jetons (8 rouges, 8 bleus, 8 jaunes, 8 verts, 8 violets, 8 oranges, 8 noirs et 8 blancs). Quelle est la probabilité de trouver, sur une colonne exactement, 8 jetons de la même couleur ?

Solution

Il s’agit d’une rencontre du n-ième type. Nous appliquerons donc la formule correspondante en posant n = 8 et r = 1. On obtient :

${\begin{aligned}{\frac {(n!)^{r+2}}{r!(n^{2})!}}\times \sum _{k=0}^{n-r}\left({\frac {(-n!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(n^{2}-nr-nk)!}{(n-r-k)!^{2}}}\right)&={\frac {(8!)^{1+2}}{1!(8^{2})!}}\times \sum _{k=0}^{8-1}\left({\frac {(-8!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(8^{2}-8\times 1-8k)!}{(8-1-k)!^{2}}}\right)\\&={\frac {(8!)^{3}}{64!}}\times \sum _{k=0}^{7}\left({\frac {(-8!)^{k}}{k!}}\times {\frac {(56-8k)!}{(7-k)!^{2}}}\right)\\&={\frac {2171517106355693670948415873083069657856}{150179595995625055861144410781907702002265446875}}\\&\approx 1{,}446.10^{-8}.\end{aligned}}$

Le raisonnement faux suivant aurait pu être fait : Il y a 8 façons de choisir la colonne et 8 façons de choisir la couleur soit 8×8 = 64 possibilités. Comme il y a $\scriptstyle {64 \choose 8}$ façons de choisir les 8 jetons allant sur la colonne sélectionnée et de la couleur sélectionnée la probabilité recherchée serait :

${\frac {8}{64 \choose 8}}={\frac {8}{553270671}}\approx 1{,}446.10^{-8}$.

Le raisonnement précédent est faux car il ne suppose rien sur les autres cases, on pourrait très bien avoir deux colonnes de la même couleur. Ce qui est interdit car l’énoncé précisait une colonne exactement. Mais le résultat est pratiquement identique car la probabilité d’avoir plus d’une colonne de la même couleur est tout à fait négligeable.