Formule du crible/Définition

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La formule du crible est aussi connue sous le nom de formule de Poincaré.

La formule du crible permet de dénombrer une réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Dans le cas n = 2, la formule est très connue :

  $\operatorname {card} (A\cup B)=\operatorname {card} (A)+\operatorname {card} (B)-\operatorname {card} (A\cap B)$.

• Pour n = 3, on a :

  $\operatorname {card} (A\cup B\cup C)=\operatorname {card} (A)+\operatorname {card} (B)+\operatorname {card} (C)-\operatorname {card} (A\cap B)-\operatorname {card} (A\cap C)-\operatorname {card} (B\cap C)+\operatorname {card} (A\cap B\cap C)$.

• Pour n = 4 :

  ${\begin{aligned}\operatorname {card} (A\cup B\cup C\cup D)=&\operatorname {card} (A)+\operatorname {card} (B)+\operatorname {card} (C)+\operatorname {card} (D)\\&-\operatorname {card} (A\cap B)-\operatorname {card} (A\cap C)-\operatorname {card} (A\cap D)-\operatorname {card} (B\cap C)-\operatorname {card} (B\cap D)-\operatorname {card} (C\cap D)\\&+\operatorname {card} (A\cap B\cap C)+\operatorname {card} (A\cap B\cap D)+\operatorname {card} (A\cap C\cap D)+\operatorname {card} (B\cap C\cap D)\\&-\operatorname {card} (A\cap B\cap C\cap D).\end{aligned}}$

Plus généralement, pour une valeur quelconque de n, nous aurons :

$\operatorname {card} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k+1}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}\operatorname {card} \left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)\right)$.

Dans cette formule, les A_i représentent des ensembles. Mais on peut aussi supposer en probabilité que les A_i représentent des événements et, dans ce cas, les cardinaux seront remplacés par des probabilités. On obtiendra alors :

$p\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k+1}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}p\left(\bigcap _{j=1}^{k}A_{i_{j}}\right)\right)$.