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La fonction homographique est la fonction
f
:
x
↦
3
x
+
4
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {3x+4}{x+3}}}
où
c
∈
R
∗
{\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{*}}
.
La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant
g
:
x
↦
1
x
{\displaystyle g:x\mapsto {\frac {1}{x}}}
, on a l'égalité suivante :
f
(
x
)
=
3
1
+
1
1
(
4
−
9
1
)
g
(
x
+
3
1
)
{\displaystyle f(x)={\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1}}(4-{\frac {9}{1}})g(x+{\frac {3}{1}})}
.
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonctions homographiques : Étude Fonctions homographiques/Étude », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On pose :
f
:
x
↦
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}}
.
Fonction dérivée
Soit
f
:
x
↦
3
x
+
4
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {3x+4}{x+3}}}
une fonction homographique, alors sa fonction dérivée vérifie :
f
′
(
x
)
=
9
−
4
(
x
+
3
)
2
{\displaystyle f'(x)={\frac {9-4}{(x+3)^{2}}}}
On se propose d'étudier le signe de la dérivée de
f
{\displaystyle f}
.
Étude du signe de
f
′
{\displaystyle f'}
On peut donc déduire du signe de
f
′
{\displaystyle f'}
les variations de
f
{\displaystyle f}
.
Début d’un théorème
Variations de
f
{\displaystyle f}
Fin du théorème
On doit donc calculer la limite en
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-d}{c}}}
de f au cas par cas :
Signe de la limite en
−
d
c
{\displaystyle \textstyle {\frac {-d}{c}}}
Il faut donc chercher le signe de
f
{\displaystyle f}
aux alentours de
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-d}{c}}}
: Or,
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
=
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
(
c
x
+
d
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {(ax+b)(cx+d)}{(cx+d)^{2}}}}
Or,
(
c
x
+
d
)
2
≥
0
{\displaystyle (cx+d)^{2}\geq 0}
Donc,
s
g
n
(
f
(
x
)
)
=
s
g
n
(
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
)
{\displaystyle \displaystyle sgn(f(x))=sgn((ax+b)(cx+d))}
. En posant
g
(
x
)
=
(
a
x
+
b
)
(
c
x
+
d
)
=
a
c
x
2
+
(
a
b
+
c
d
)
x
+
b
d
{\displaystyle \displaystyle g(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ab+cd)x+bd}
, on obtient un polynôme du second degré, dont le signe va dépendre de l’ordre des racines et du signe de
a
c
{\displaystyle ac}
.1°cas : Si
a
{\displaystyle a}
et
c
{\displaystyle c}
sont de même signe, alors, g(x) est négatif entre ses racines, il faut envisager deux cas :
Si
−
b
a
≤
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}}
, alors,
f
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f(x)\leq 0}
sur
[
−
b
a
:
−
d
c
]
{\displaystyle \left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]}
et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)}
est négatif et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
Si
−
b
a
≥
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}}
, alors,
f
(
x
)
≤
0
{\displaystyle f(x)\leq 0}
sur
[
−
d
c
:
−
b
a
]
{\displaystyle \left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]}
et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)}
est négatif et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
2° cas :
Si
a
{\displaystyle a}
et
c
{\displaystyle c}
sont de signes différents, alors
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
est positif entre ses racines, et les deux configurations sont :
Si
−
b
a
≤
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}}
, alors,
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
sur
[
−
b
a
:
−
d
c
]
{\displaystyle \left[{\frac {-b}{a}}:{\frac {-d}{c}}\right]}
et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)}
est positif et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
Si
−
b
a
≥
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}}
, alors,
f
(
x
)
≥
0
{\displaystyle f(x)\geq 0}
sur
[
−
d
c
:
−
b
a
]
{\displaystyle \left[{\frac {-d}{c}}:{\frac {-b}{a}}\right]}
et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)}
est positif et
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
Limites d'une fonction homographique
Soit
f
(
x
)
=
a
x
+
b
c
x
+
d
{\displaystyle f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}
, une fonction homographique définie sur
R
∖
{
−
d
c
}
{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \left\{{\frac {-d}{c}}\right\}}
, alors :
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
a
c
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)={\frac {a}{c}}}
Si
a
{\displaystyle a}
et
c
{\displaystyle c}
sont de même signe :
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, si
−
b
a
≤
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}}
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, si
−
b
a
≥
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}}
Si
a
{\displaystyle a}
et
c
{\displaystyle c}
sont de signes différents :
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, si
−
b
a
≤
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\leq {\frac {-d}{c}}}
lim
x
→
−
d
c
x
≥
−
d
c
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\geq {\frac {-d}{c}}}f(x)=+\infty }
, et
lim
x
→
−
d
c
x
≤
−
d
c
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to {\frac {-d}{c}} \atop x\leq {\frac {-d}{c}}}f(x)=-\infty }
, si
−
b
a
≥
−
d
c
{\displaystyle {\frac {-b}{a}}\geq {\frac {-d}{c}}}
Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.