Fonctions d'une variable réelle/Devoir/Composition avec une fonction trigonométrique

— Ⅰ —

On désigne par $g$ la fonction définie sur $\left]-1,1\right[$ par :

$g(0)=0$ et $g'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$,

où $g'$ est la dérivée de la fonction $g$ sur $\left]-1,1\right[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$ par :

$h(x)=g(\sin x)$.

1°  Expliquer pourquoi $h$ n’est pas définie en $-{\frac {\pi }{2}}$ ni en ${\frac {\pi }{2}}$.

2°  Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout $x$ de $\left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, on a $h'(x)=1$.

3°  Calculer $h(0)$.

4°  Donner l’expression de $h(x)$ en utilisant b) et c).

— Ⅱ —

On désigne par $g$ la fonction définie sur $\left]-1,1\right[$ par :

$g(0)=0$ et $g'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$,

où $g'$ est la dérivée de la fonction $g$ sur $\left]-1,1\right[$ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$.

On considère alors la fonction composée $h$ définie sur $\left]-\pi ,0\right[$ par :

$h(x)=g(\cos x)$.

1°  Expliquer pourquoi $h$ n’est pas définie en $-\pi$ ni en $0$.

2°  Démontrer, en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction composée, que pour tout $x$ de $\left]-\pi ,0\right[$, on a $h'(x)=1$.

3°  Calculer $h\left({\frac {\pi }{2}}\right)$.

4°  Donner l’expression de $h(x)$ en utilisant b) et c).

Corrigé

— Ⅰ —

1. $\sin {\frac {\pi }{2}}=1$ n'appartient pas au domaine de définition $\left]-1,1\right[$ de $g$. De même pour $\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=-1$.
2. Pour tout $x\in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[$, $\cos x>0$ donc $h'(x)=g'(\sin x)\times \sin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}}}}\times \cos x={\frac {\cos x}{\sqrt {\cos ^{2}x}}}=1$.
3. $h(0)=g(\sin 0)=g(0)=0$.
4. $h(x)=ax+b$ avec $a=h'(x)=1$ et $b=h(0)=0$ donc $h(x)=x$.

— Ⅱ —

1. $\cos 0=1$ n'appartient pas au domaine de définition $\left]-1,1\right[$ de $g$. De même pour $\cos \left(-\pi \right)=-1$.
2. Pour tout $x\in \left]-\pi ,0\right[$, $\sin x<0$ donc $h'(x)=g'(\cos x)\times \cos 'x={\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}}}}\times (-\sin x)={\frac {-\sin x}{\sqrt {\sin ^{2}x}}}=1$.
3. $h\left({\frac {\pi }{2}}\right)=g\left(\cos {\frac {\pi }{2}}\right)=g(0)=0$.
4. $h(x)=ax+b$ avec $a=h'(x)=1$ et $b=h(0)=0$ donc $h(x)=x$.