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Exercice : Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposantFonction logarithme/Exercices/Résolution d'équations et d'inéquations où l'inconnue est un exposant », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Trouver un entier
n
{\displaystyle n}
a
)
2
n
=
131072
{\displaystyle a)\quad 2^{n}=131072}
b
)
3
n
+
3
=
177150
{\displaystyle b)\quad 3^{n}+3=177150}
c
)
3
×
7
n
=
352947
{\displaystyle c)\quad 3\times 7^{n}=352947}
Solution
a) Prenons le logarithme népérien des deux membres :
ln
(
2
n
)
=
ln
(
131072
)
⇔
n
ln
2
=
ln
(
131072
)
⇔
n
=
ln
(
131072
)
ln
2
⇔
n
=
17
{\displaystyle \ln(2^{n})=\ln(131072)\Leftrightarrow n\ln 2=\ln(131072)\Leftrightarrow n={\frac {\ln(131072)}{\ln 2}}\Leftrightarrow n=17}
3
n
+
3
=
177150
⇔
3
n
−
1
=
59049
{\displaystyle 3^{n}+3=177150\Leftrightarrow 3^{n-1}=59049}
Prenons le logarithme népérien des deux membres :
ln
(
3
n
−
1
)
=
ln
(
59049
)
⇔
(
n
−
1
)
ln
3
=
ln
(
59049
)
⇔
n
=
1
+
ln
(
59049
)
ln
3
⇔
n
=
11
{\displaystyle \ln(3^{n-1})=\ln(59049)\Leftrightarrow (n-1)\ln 3=\ln(59049)\Leftrightarrow n=1+{\frac {\ln(59049)}{\ln 3}}\Leftrightarrow n=11}
3
×
7
n
=
352947
⇔
7
n
=
117649
{\displaystyle 3\times 7^{n}=352947\Leftrightarrow 7^{n}=117649}
Prenons le logarithme népérien des deux membres :
ln
(
7
n
)
=
ln
(
117649
)
⇔
n
ln
7
=
ln
(
117649
)
⇔
n
=
ln
(
117649
)
ln
7
⇔
n
=
6
{\displaystyle \ln(7^{n})=\ln(117649)\Leftrightarrow n\ln 7=\ln(117649)\Leftrightarrow n={\frac {\ln(117649)}{\ln 7}}\Leftrightarrow n=6}
Résoudre les équations suivantes :
2
3
x
+
1
=
8
5
x
−
3
{\displaystyle 2^{3x+1}=8^{5x-3}}
2
x
+
6
2
x
=
5
{\displaystyle 2^{x}+{\frac {6}{2^{x}}}=5}
3
4
x
=
9
8
x
−
5
8
x
−
8
{\displaystyle 3^{4x}=9^{\frac {8x-5}{8x-8}}}
Résoudre les équations suivantes :
5
sin
x
+
2
5
sin
x
=
3
{\displaystyle 5^{\sin x}+{\frac {2}{5^{\sin x}}}=3}
7
x
+
4
3
−
5
3
x
=
2
(
7
x
+
1
3
+
5
3
x
−
1
)
{\displaystyle 7^{x+{\frac {4}{3}}}-5^{3x}=2\left(7^{x+{\frac {1}{3}}}+5^{3x-1}\right)}
2
x
+
2
+
4
x
+
1
=
224
{\displaystyle 2^{x+2}+4^{x+1}=224}
Résoudre les inéquations suivantes :
8
x
<
2
2
x
+
5
{\displaystyle 8^{x}<2^{2x+5}}
e
sin
x
−
9
e
sin
x
⩾
0
{\displaystyle \operatorname {e} ^{\sin x}-{\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\geqslant 0}
e
sin
x
+
9
e
sin
x
⩾
0
{\displaystyle \operatorname {e} ^{\sin x}+{\frac {9}{\operatorname {e} ^{\sin x}}}\geqslant 0}
