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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction génératrice : Fonction génératrice d'un couple de variables aléatoires Fonction génératrice/Fonction génératrice d'un couple de variables aléatoires », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. Nous appellerons fonction génératrice associée au couple de variables aléatoires la fonction G définie par :
G
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
x
)
i
(
1
+
y
)
j
{\displaystyle G(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i}(1+y)^{j}}
Pour simplifier, nous supposerons que la fonction G est de classe C2 en tout point.
Propriété 1
On a :
E
(
X
)
=
∂
G
∂
x
(
0
,
0
)
{\displaystyle E(X)={\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0)}
E
(
Y
)
=
∂
G
∂
y
(
0
,
0
)
{\displaystyle E(Y)={\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)}
Début d'une démonstration
Démonstration
On a :
∂
G
∂
x
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
x
)
i
−
1
(
1
+
y
)
j
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j}}
Par conséquent :
∂
G
∂
x
(
0
,
0
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
0
)
i
−
1
(
1
+
O
)
j
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
=
∑
i
=
1
n
i
.
∑
j
=
1
n
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
=
∑
i
=
1
n
i
.
p
(
X
=
i
)
=
E
(
X
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{i-1}(1+O)^{j}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i.\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i.p(X=i)\\&=E(X)\end{aligned}}}
Démonstration symétrique pour E(Y).
Fin de la démonstration
Propriété 2
On a :
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
∂
2
G
∂
x
.
∂
y
(
0
,
0
)
−
∂
G
∂
x
(
0
,
0
)
.
∂
G
∂
y
(
0
,
0
)
{\displaystyle Cov(X,Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)-{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0).{\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)}
Début d'une démonstration
Démonstration
On a :
∂
2
G
∂
x
.
∂
y
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
j
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
x
)
i
−
1
(
1
+
y
)
j
−
1
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j-1}}
Par conséquent :
∂
2
G
∂
x
.
∂
y
(
0
,
0
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
j
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
0
)
i
−
1
(
1
+
O
)
j
−
1
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
j
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
=
E
(
X
Y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{i-1}(1+O)^{j-1}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.j.p(X=i\cap Y=j)\\&=E(XY)\end{aligned}}}
On en déduit :
C
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
(
X
Y
)
−
E
(
X
)
E
(
Y
)
=
∂
2
G
∂
x
.
∂
y
(
0
,
0
)
−
∂
G
∂
x
(
0
,
0
)
.
∂
G
∂
y
(
0
,
0
)
{\displaystyle Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x.\partial y}}(0,0)-{\frac {\partial G}{\partial x}}(0,0).{\frac {\partial G}{\partial y}}(0,0)}
Fin de la démonstration
Propriété 3
On a :
V
a
r
(
X
)
=
∂
2
G
∂
x
2
+
∂
G
∂
x
(
1
−
∂
G
∂
x
)
{\displaystyle Var(X)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial x}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial x}}\right)}
Début d'une démonstration
Démonstration
On a :
∂
G
∂
x
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
x
)
i
−
1
(
1
+
y
)
j
{\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i.p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{i-1}(1+y)^{j}}
Par suite :
∂
2
G
∂
x
2
(
x
,
y
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
(
i
−
1
)
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
x
)
(
i
−
2
)
(
1
+
y
)
j
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)(1+x)^{(i-2)}(1+y)^{j}}
Par conséquent :
∂
2
G
∂
x
2
(
0
,
0
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
(
i
−
1
)
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
(
1
+
0
)
(
i
−
2
)
(
1
+
0
)
j
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
i
(
i
−
1
)
.
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
=
∑
i
=
1
n
i
(
i
−
1
)
.
∑
j
=
1
n
p
(
X
=
i
∩
Y
=
j
)
=
∑
i
=
1
n
i
(
i
−
1
)
.
p
(
X
=
i
)
=
E
(
X
(
X
−
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}(0,0)&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)(1+0)^{(i-2)}(1+0)^{j}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}i(i-1).p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i(i-1).\sum _{j=1}^{n}p(X=i\cap Y=j)\\&=\sum _{i=1}^{n}i(i-1).p(X=i)\\&=E(X(X-1))\end{aligned}}}
On en déduit :
V
a
r
(
X
)
=
E
(
X
2
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
E
(
X
(
X
−
1
)
)
+
E
(
X
)
−
(
E
(
X
)
)
2
=
E
(
X
(
X
−
1
)
)
+
E
(
X
)
(
1
−
(
E
(
X
)
)
=
∂
2
G
∂
x
2
+
∂
G
∂
x
(
1
−
∂
G
∂
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}Var(X)&=E(X^{2})-(E(X))^{2}\\&=E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^{2}\\&=E(X(X-1))+E(X)(1-(E(X))\\&={\frac {\partial ^{2}G}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial x}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial x}}\right)\end{aligned}}}
Fin de la démonstration
De façon similaire, on a aussi :
Propriété 4
On a :
V
a
r
(
Y
)
=
∂
2
G
∂
y
2
+
∂
G
∂
y
(
1
−
∂
G
∂
y
)
{\displaystyle Var(Y)={\frac {\partial ^{2}G}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}\left(1-{\frac {\partial G}{\partial y}}\right)}
Début d'une démonstration
Démonstration
Même démonstration que pour la propriété 3.
Fin de la démonstration
