Fonction dérivée/Fiche/Définitions et opérations

Fiche mémoire sur les définitions et opérations sur les dérivées

Niveau 12

Nombre dérivé

Soit $f$ une fonction définie sur un domaine $𝒟$.

Soit $a\in 𝒟$.

La fonction $f$ est dite dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers $0$.

Cette limite :

• s’appelle nombre dérivé de $f$ en $a$ ;
• est égale au coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ;
• est notée $f^{\prime }(a)$.

Opérations sur les dérivées

Soient $\lambda \in ℝ$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Opérations simples

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur un domaine $𝒟$.

On note :

• $𝒟{\text{'}}_f=𝒟$ privé des points d'annulation de $f$ ;
• $𝒟{\text{'}}_g=𝒟$ privé des points d'annulation de $g$.

$\begin{array}{ccc}\text{Fonction}& \text{Domaine de dérivabilité}& \text{Dérivée}\\ x\mapsto \lambda f(x)& 𝒟& x\mapsto \lambda f^{\prime }(x)\\ x\mapsto (f+g)(x)& 𝒟& x\mapsto f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\\ x\mapsto (f\times g)(x)& 𝒟& x\mapsto f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\\ x\mapsto f^n(x)& 𝒟& x\mapsto n\cdot f^{\prime }(x)f^{n-1}(x)\\ x\mapsto \frac{1}{f}& 𝒟{\text{'}}_f& x\mapsto -\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}\\ x\mapsto \frac{f}{g}& 𝒟{\text{'}}_g& x\mapsto \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}\end{array}$

Composition par une fonction affine

Soient $a\in ℝ$ et $b\in ℝ$.

Soit $f$ une fonction.

Soit $g$ une fonction définie sur un domaine ${𝒟}_1$ par $g:x\mapsto f(ax+b)$.

Soit $x\in {𝒟}_1$. Si $f$ est dérivable au point $ax+b$, alors $g$ est dérivable au point $x$ et $g^{\prime }(x)=a\cdot f^{\prime }(ax+b)$.

Niveau 13

Composition

Si $f$ est une fonction dérivable sur $I$ et $g$ est une fonction dérivable sur $f(I)$

alors la composée $g\circ f$ est dérivable sur $I$ et, pour tout $x\in I$ :

$\begin{array}{cc}(g\circ f{)}^{\prime }(x)& =[(g^{\prime }\circ f)\times f^{\prime }](x)\\ & =g^{\prime }(f(x))\times f^{\prime }(x).\end{array}$

Compositions usuelles

On trouvera les domaines de validité de ces formules grâce au théorème précédent.

$\begin{array}{cc}\text{Fonction}& \text{Dérivée}\\ \sqrt{u}& \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}\\ \sin (u)& u^{\prime }\cdot \cos (u)\\ \cos (u)& -u^{\prime }\cdot \sin (u)\\ e^u& u^{\prime }\cdot e^u\\ \ln (u)& \frac{u^{\prime }}{u}\end{array}$