Fonction carré/Introduction

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Fonction carré

Définition

La fonction carré associe à tout réel $x$ le produit $x\times x$.

On note : $f:x\mapsto x^{2}$ ou $f(x)=x^{2}$

• La fonction carré est définie sur $\mathbb {R}$.

Sens de variation

Début d’un théorème

Théorème

La fonction carré est strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$ et strictement croissante sur $]0;+\infty [$.

Son minimum est 0, il est atteint pour $x=0$. À cette valeur, la fonction est constante (dérivée nulle).

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Pour le premier point, soient $x_{1}<x_{2}\leq 0$. On a donc :

• $x_{1}-x_{2}<0$
• $x_{1}+x_{2}<0$
• Soit $(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})>0$

Ce qui nous permet de voir que $x_{1}^{2}-x_{2}^{2}>0$ et donc que $x_{1}^{2}>x_{2}^{2}$. La fonction carré est donc bien strictement décroissante sur $]-\infty ;0[$

Pour le deuxième point, le raisonnement est identique.

Pour le troisième point, pour tout réel $x$, on a d’après la règle des signes $x^{2}\geqslant 0$ et que pour $x=0$ on a $x^{2}=0$. La fonction carré admet bien 0 comme minimum et il est atteint pour $x=0$. De plus, si $x\neq 0$ alors $x^{2}\neq 0$. Le minimum est donc 0 et est atteint pour $x=0$.

Fin de la démonstration

Tableau de variations

x	$-\infty$ $0$ $+\infty$
f	$+\infty$ $+\infty$ $\searrow$ $\nearrow$ $0$

Parité

La fonction carré est paire sur son ensemble de définition. C'est-à-dire que pour tout $x$ réel, $f(-x)=f(x)$.

Les conséquences graphiques de cette propriété sont explicitées dans "Représentation graphique".

Représentation graphique

Début d’un théorème

Théorème

• La représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.
• Son sommet est le point $O(0;0)$.
• Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Elle est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses.

Fin du théorème

Remarque : Toutes les fonctions du second degré ont pour représentation graphique une parabole.