Expressions algébriques/Exercices/Opérations sur les polynômes

Exercice 4-1

Sachant que :

$\begin{array}{cc}x+y+z& =a\\ x^2+y^2+z^2& =b^2\\ x^3+y^3+z^3& =c^3\end{array}$

calculer le produit $xyz$ en fonction de $a,b,c$.

Aide

On commencera par calculer $a^3$.

Solution

$\begin{array}{cc}{a}^3& =(x+y+z{)}^3\\ & =(x+y+z{)}^2\times (x+y+z)\\ & =(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)\times (x+y+z)\\ & =(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)\times (x+y+z)\\ & =x^3+y^3+z^3+3(x^{2}y+x{y}^2+x^{2}z+x{z}^2+y^{2}z+y{z}^2)+6xyz\\ & =x^3+y^3+z^3+3[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)-(x^3+y^3+z^3)]+6xyz\\ & =c^3+3(a{b}^2-c^3)+6xyz\\ & =3a{b}^2-2c^3+6xyz\\ \end{array}$

On en déduit :

$xyz=\frac{a^3-3a{b}^2+2c^3}{6}$

 

Exercice 4-2

Soit $a,b,c$ trois nombres différents vérifiant :

$\begin{array}{c}{a}^3+pa+q=0\\ b^3+pb+q=0\\ c^3+pc+q=0\end{array}$

Montrez qu'alors on a la relation :

$a+b+c=0$

Solution

Les relations de l'énoncé montre que le polynôme $x^3+px+q$ s'annule pour $a,b,c$. Ce polynôme se factorise donc sous la forme :

$x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)\times Q$

Comme $x^3+px+q$ et $(x-a)(x-b)(x-c)$ sont du troisième degré, on en déduit que $Q$ est une constante. En égalant les termes en $x^3$, on voit que $Q=1$. On a donc :

$x^3+px+q=(x-a)(x-b)(x-c)$

En développant le second membre, on trouve :

$x^3+px+q=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc\times Q$

En égalant les termes en $x^2$, on obtient :

$a+b+c=0$

 

Exercice 4-3

Montrez que si un polynôme est symétrique par rapport à deux variables $a$ et $b$ et si l'on peut mettre $(a-b)$ en facteur, alors on peut aussi mettre $(a-b{)}^2$ en facteur.

Solution

Soit $P(a,b,\cdots )$ un polynôme vérifiant les conditions de l'énoncé. Alors il existe $Q(a,b,\cdots )$ tel que :

$P(a,b,\cdots )=(a-b)Q(a,b,\cdots )$

Si l'on intervertit $a$ et $b$, l'expression se transforme en :

$P(b,a,\cdots )=(b-a)Q(b,a,\cdots )$

Puisque $P$ est symétrique, le premier membre est inchangé et l'on obtient :

$(a-b)Q(a,b,\cdots )=(b-a)Q(b,a,\cdots )$

qui s'écrit :

$(a-b)Q(a,b,\cdots )=-(a-b)Q(b,a,\cdots )$

En simplifiant par $(a-b)$ il nous reste :

$Q(a,b,\cdots )=-Q(b,a,\cdots )$

Si dans cette dernière expression on remplace $b$ par $a$, on obtient :

$Q(a,a,\cdots )=-Q(a,a,\cdots )$

qui s'écrit :

$2Q(a,a,\cdots )=0$

Soit :

$Q(a,a,\cdots )=0$

Ce qui montre que l'on peut mettre $(a-b)$ en facteur dans $Q(a,b,\cdots )$

On obtient :

$Q(a,b,\cdots )=(a-b)Q^{\prime }(a,b,\cdots )$

et en reportant dans $P(a,b,\cdots )=(a-b)Q(a,b,\cdots )$, on obtient finalement :

$P(a,b,\cdots )=(a-b{)}^2{Q}^{\prime }(a,b,\cdots )$