Expressions algébriques/Exercices/Fractions rationnelles

Exercice 6-1

Simplifier les expressions :

a)  ${\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}$

b)  ${\frac {a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c}{(c-a)(c-b)}}$

c)  ${\frac {bc}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {ac}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {ab}{(c-a)(c-b)}}$

d)  ${\frac {a^{3}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{3}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{3}}{(c-a)(c-b)}}$

e)  ${\frac {b^{2}c^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{(c-a)(c-b)}}$

a) Corrigé

Commençons par mettre au même dénominateur :

${\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {a^{2}(c-b)+b^{2}(a-c)+c^{2}(b-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)}}$.

Nous remarquons que le polynôme au numérateur s'annule dès que deux des trois variables sont égales. Il est donc de la forme $(a-b)(b-c)(c-a)\times Q$, où le polynôme $Q$, pour des raisons de degré, est une constante. Autrement dit, la fraction à simplifier est en fait une constante.

On l'évalue en choisissant des valeurs particulières pour $a,b,c$ : par exemple $-1,0,1$, ce qui donne :

${\frac {a^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{2}}{(c-a)(c-b)}}={\frac {1}{(-1)(-2)}}+0+{\frac {1}{2}}=1$.

 

b) Corrigé

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\frac {a}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c}{(c-a)(c-b)}}=0$

 

c) Corrigé

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\frac {bc}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {ac}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {ab}{(c-a)(c-b)}}=1$

 

d) Corrigé

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\frac {a^{3}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {b^{3}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {c^{3}}{(c-a)(c-b)}}=a+b+c$

 

e) Corrigé

En procédant de façon similaire au a), on trouve :

${\frac {b^{2}c^{2}}{(a-b)(a-c)}}+{\frac {a^{2}c^{2}}{(b-c)(b-a)}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{(c-a)(c-b)}}=ab+ac+bc$

 

Exercice 6-2

Simplifier les expressions :

a)  ${\frac {(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^{2}+c^{2}-2ac-b^{2})}}$

b)  ${\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}$

c)  ${\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}$

d)  ${\frac {ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})}{ab(x^{2}-y^{2})+xy(a^{2}-b^{2})}}$

e)  ${\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}$

a) Corrigé

Nous avons :

${\begin{aligned}{\frac {(a^{2}-b^{2}-c^{2}-2bc)(a+b-c)}{(a+b+c)(a^{2}+c^{2}-2ac-b^{2})}}&={\frac {\left[a^{2}-(b+c)^{2}\right](a+b-c)}{(a+b+c)\left[(a-c)^{2}-b^{2}\right]}}\\&={\frac {(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)}{(a+b+c)(a-c+b)(a-c-b)}}\\&=1\\\end{aligned}}$

 

b) Corrigé

Le numérateur et le dénominateur s'annulent pour $x=1$. On peut donc mettre $(x-1)$ en facteur. Nous obtenons :

${\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x^{2}-1)}{(x-1)(x^{3}-3x+2)}}\\&={\frac {x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}}\end{aligned}}$

On remarque que le numérateur et le dénominateur s'annulent pour $x=1$. On peut donc de nouveau mettre $(x-1)$ en facteur. Nous obtenons :

${\begin{aligned}{\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}&={\frac {(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^{2}+x-2)}}\\&={\frac {x+1}{x^{2}+x-2}}\end{aligned}}$

On remarque que le dénominateur s'annule pour $x=1$. On obtient donc finalement :

${\frac {x^{3}-x^{2}-x+1}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2}}={\frac {x+1}{(x-1)(x+2)}}$

 

c) Corrigé

Nous avons :

${\begin{aligned}{\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-(b-c)^{2}}}\\&={\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{(a+b-c)(a-b+c)}}\end{aligned}}$

Compte tenu du dénominateur, essayons de voir si l'on ne peut pas factoriser le numérateur par $(a+b-c)$ ou $(a-b+c)$.

Pour cela remplaçons, dans le numérateur successivement $a$ par $b-c$ et par $c-b$.

Pour $a=b-c$, on obtient :

${\begin{aligned}a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc&=(b-c)^{2}-3(b-c)b+(b-c)c+2b^{2}-2bc\\&=b^{2}-2bc+c^{2}-3b^{2}+3bc+bc-c^{2}+2b^{2}-2bc\\&=0\end{aligned}}$

On peut donc mettre $(a-b+c)$ en facteur dans le numérateur. On obtient :

${\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {(a-b+c)(a-2b)}{(a+b-c)(a-b+c)}}$

et on a la simplification suivante :

${\frac {a^{2}-3ab+ac+2b^{2}-2bc}{a^{2}-b^{2}+2bc-c^{2}}}={\frac {a-2b}{a+b-c}}$

 

d) Corrigé

Nous avons :

${\begin{aligned}{\frac {ab(x^{2}+y^{2})+xy(a^{2}+b^{2})}{ab(x^{2}-y^{2})+xy(a^{2}-b^{2})}}&={\frac {abx^{2}+aby^{2}+xya^{2}+xyb^{2}}{abx^{2}-aby^{2}+xya^{2}-xyb^{2}}}\\&={\frac {ax(bx+ay)+by(ay+bx)}{ax(bx+ay)-by(ay+bx)}}\\&={\frac {(ax+by)(bx+ay)}{(ax-by)(bx+ay)}}\\&={\frac {ax+by}{ax-by}}\end{aligned}}$

 

e) Corrigé

On peut simplifier par $a$ :

${\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}={\frac {a^{4}+ab^{3}-a^{3}b-b^{4}}{a^{3}-ab^{2}+a^{2}b-b^{3}}}$

et l'on voit qu'en remplaçant $a$ par $b$, le numérateur et le dénominateur s'annulent. On peut donc factoriser le numérateur et le dénominateur par $a-b$.

${\begin{aligned}{\frac {a^{5}+a^{2}b^{3}-a^{4}b-ab^{4}}{a^{4}-a^{2}b^{2}+a^{3}b-ab^{3}}}&={\frac {a^{4}-b^{4}+ab^{3}-a^{3}b}{a^{3}-b^{3}-ab^{2}+a^{2}b}}\\&={\frac {a^{3}(a-b)+b^{3}(a-b)}{a(a^{2}-b^{2})+b(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a^{3}+b^{3})}{(a+b)(a^{2}-b^{2})}}\\&={\frac {(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{(a+b)(a+b)(a-b)}}\\&={\frac {a^{2}-ab+b^{2}}{a+b}}\\\end{aligned}}$

 

Exercice 6-3

Simplifier l'expression :

${\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}$

Solution

Le dénominateur, vu par exemple comme polynôme en $c$ (à coefficients dans les polynômes en $a$ et $b$) est unitaire, de degré $1$. On peut donc effectuer une division euclidienne du numérateur par le dénominateur, vus comme polynômes en $c$ ; le terme dominant du quotient sera ${\frac {-c^{3}}{c^{2}}}=-c$ et le reste sera de degré strictement inférieur à $2$ :

$-c^{3}+c(2a^{2}+2b^{2}+ab)-a^{3}-b^{3}=\left(c^{2}+c(ab+a+b)-a^{2}-b^{2}\right)(-c+P)+cQ+R$,

où $P,Q,R$ sont des polynômes en $a$ et $b$, que l'on calcule par identification des coefficients de $c^{2}$, $c$ et $1$ :

${\begin{cases}0&=P-a-b,\\2a^{2}+2b^{2}+ab&=(a+b)P-ab+a^{2}+b^{2}+Q,\\-a^{3}-b^{3}&=(ab-a^{2}-b^{2})P+R\end{cases}}$

donc de proche en proche :

$P=a+b,\quad Q=0,\quad R=0$.

Puisque le reste $cQ+R$ est nul, le numérateur est simplement le produit du dénominateur par le quotient $-c+P=-c+a+b$, et la simplification recherchée est donc :

${\frac {2a^{2}c+2b^{2}c+abc-a^{3}-b^{3}-c^{3}}{ab+ac+bc+c^{2}-a^{2}-b^{2}}}=a+b-c$.

 

Exercice 6-4

Montrer que si l'on a :

${\frac {b-c}{y-z}}+{\frac {c-a}{z-x}}+{\frac {a-b}{x-y}}=0$,

on a aussi :

$(b-c)(y-z)^{2}+(c-a)(z-x)^{2}+(a-b)(x-y)^{2}=0$.

Solution

Il s'agit de démontrer que

${\frac {p}{u}}+{\frac {q}{v}}+{\frac {-p-q}{-u-v}}=0\Rightarrow pu^{2}+qv^{2}+(-p-q)(-u-v)^{2}=0$,

ce qui se réécrit

$(pv+qu)(u+v)+(p+q)uv=0\Rightarrow qu^{2}+pv^{2}+2(p+q)uv=0$

et qui, en développant, est immédiat.

 

Exercice 6-5

Étant donnée la relation liant $x$ à $y$ :

$y={\frac {ax+b}{cx+d}}$,

$a,\,b,\,c,\,d$ étant des constantes et $ad-bc\neq 0$,

on remplace $x$ successivement par quatre valeurs distinctes $x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}$ ;

$y$ prend les quatre valeurs correspondantes $y_{1},\,y_{2},\,y_{3},\,y_{4}$.

Démontrer que l'on a :

${\frac {\frac {y_{3}-y_{1}}{y_{3}-y_{2}}}{\frac {y_{4}-y_{1}}{y_{4}-y_{2}}}}={\frac {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}}$.

Solution

Si $c=0$, le résultat est immédiat.

Si $c\neq 0$, on a

$y={\frac {\alpha }{x-\beta }}+\gamma$

où $\alpha =(bc-ad)/c^{2},\quad \beta =-d/c,\quad \gamma =a/c$.

Il suffit donc de vérifier que la quantité ${\frac {\frac {x_{3}-x_{1}}{x_{3}-x_{2}}}{\frac {x_{4}-x_{1}}{x_{4}-x_{2}}}}$ est inchangée quand on remplace (pour $i=1,2,3,4$)

1. $x_{i}$ par $u_{i}:=x_{i}-\beta$, puis
2. $u_{i}$ par $v_{i}:=1/u_{i}$, puis
3. $v_{i}$ par $w_{i}:=\alpha v_{i}$, et enfin
4. $w_{i}$ par $y_{i}=w_{i}+\gamma$.

Vérifions-le pour la transformation 2 (pour les trois autres, c'est immédiat) :

${\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}={\frac {\frac {u_{1}-u_{3}}{u_{3}u_{1}}}{\frac {u_{2}-u_{3}}{u_{3}u_{2}}}}={\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}$

et de même,

${\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}={\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}$

donc

${\frac {\frac {v_{3}-v_{1}}{v_{3}-v_{2}}}{\frac {v_{4}-v_{1}}{v_{4}-v_{2}}}}={\frac {{\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}{{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}\times {\frac {u_{2}}{u_{1}}}}}={\frac {\frac {u_{3}-u_{1}}{u_{3}-u_{2}}}{\frac {u_{4}-u_{1}}{u_{4}-u_{2}}}}$.