En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Espaces euclidiensEspace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
L'application Q définie sur
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
par
Q
(
x
y
z
)
=
3
x
2
−
5
y
2
+
3
x
z
{\displaystyle Q{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=3x^{2}-5y^{2}+3xz}
est-elle une forme quadratique ?
Solution
Oui car
Q
(
V
)
=
t
V
(
3
0
3
/
2
0
−
5
0
3
/
2
0
0
)
V
{\displaystyle Q(V)=^{\operatorname {t} }\!V{\begin{pmatrix}3&0&3/2\\0&-5&0\\3/2&0&0\end{pmatrix}}V}
.
Soit
A
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
vérifiant :
∀
X
∈
M
n
,
1
(
R
)
t
X
A
X
=
0
{\displaystyle \forall X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )\quad ^{\operatorname {t} }\!XAX=0}
.
Que dire de
A
{\displaystyle A}
?
Solution
Wikipedia-logo-v2.svg
La forme bilinéaire symétrique associée à cette forme quadratique est nulle, or sa matrice est
A
+
t
A
2
{\displaystyle {\frac {A+^{\operatorname {t} }\!A}{2}}}
. Donc
A
{\displaystyle A}
est antisymétrique.
Soit
A
=
(
a
i
,
j
)
∈
O
n
(
R
)
{\displaystyle A=(a_{i,j})\in \mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )}
.
Montrer que
|
∑
i
,
j
a
i
,
j
|
≤
n
{\displaystyle \left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|\leq n}
et
∑
i
,
j
|
a
i
,
j
|
≤
n
3
/
2
{\displaystyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|\leq n^{3/2}}
.
Étudier les cas d'égalité si
n
>
1
{\displaystyle n>1}
.
Solution
Soit
1
n
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {1} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}}
le vecteur dont toutes les composantes sont égales à
1
{\displaystyle 1}
. Dans
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
muni de sa structure euclidienne canonique, on a
|
∑
i
,
j
a
i
,
j
|
=
|
⟨
1
n
∣
A
(
1
n
)
⟩
|
≤
‖
1
n
‖
‖
A
(
1
n
)
‖
=
‖
1
n
‖
2
=
n
{\displaystyle \left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=|\langle \mathbf {1} _{n}\mid A(\mathbf {1} _{n})\rangle |\leq \|\mathbf {1} _{n}\|\|A(\mathbf {1} _{n})\|=\|\mathbf {1} _{n}\|^{2}=n}
.
Soit
B
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle B\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
la matrice dont toutes les composantes sont égales à
±
1
{\displaystyle \pm 1}
, les signes étant choisis de telle façon que
b
j
,
i
a
i
,
j
=
|
a
i
,
j
|
{\displaystyle b_{j,i}a_{i,j}=|a_{i,j}|}
. Dans
M
n
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
muni de sa structure euclidienne canonique ,
∑
i
,
j
|
a
i
,
j
|
=
⟨
B
∣
A
⟩
≤
‖
B
‖
‖
A
‖
=
n
2
n
=
n
3
/
2
{\displaystyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|=\langle B\mid A\rangle \leq \|B\|\|A\|={\sqrt {n^{2}}}{\sqrt {n}}=n^{3/2}}
.
|
∑
i
,
j
a
i
,
j
|
=
n
⇔
A
(
1
n
)
=
±
1
n
{\displaystyle \left|\sum _{i,j}a_{i,j}\right|=n\Leftrightarrow A(\mathbf {1} _{n})=\pm \mathbf {1} _{n}}
.
∑
i
,
j
|
a
i
,
j
|
=
n
3
/
2
⇔
A
=
±
1
n
B
⇔
{\displaystyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|=n^{3/2}\Leftrightarrow A=\pm {\frac {1}{\sqrt {n}}}B\Leftrightarrow }
tous les
|
a
i
,
j
|
{\displaystyle |a_{i,j}|}
sont égaux à
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}}
, n est pair, et
A
{\displaystyle A}
(en plus d'être orthogonale) est symétrique.
Soient
α
∈
R
∗
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ^{*}}
et
v
∈
E
∖
{
0
}
{\displaystyle v\in E\setminus \{0\}}
.
Soit
f
:
E
→
E
,
x
↦
x
+
α
⟨
x
∣
v
⟩
v
{\displaystyle f:E\to E,\,x\mapsto x+\alpha \langle x\mid v\rangle v}
.
Montrer que
f
{\displaystyle f}
est autoadjoint, puis déterminer α pour que
f
{\displaystyle f}
soit une isométrie.
Soit
f
∈
L
(
E
)
∖
{
0
}
{\displaystyle f\in \mathrm {L} (E)\setminus \{0\}}
vérifiant
∀
(
x
,
y
)
∈
E
2
x
⊥
y
⇒
f
(
x
)
⊥
f
(
y
)
{\displaystyle \forall (x,y)\in E^{2}\quad x\perp y\Rightarrow f(x)\perp f(y)}
.
Montrer que
f
{\displaystyle f}
est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de
O
(
E
)
{\displaystyle \mathrm {O} (E)}
par un réel strictement positif.
Soient
E
=
R
2
[
X
]
{\displaystyle E=\mathbb {R} _{2}[X]}
et
ϕ
:
E
2
→
R
,
(
P
,
Q
)
↦
P
(
0
)
Q
(
0
)
+
P
(
1
)
Q
(
1
)
+
P
(
2
)
Q
(
2
)
{\displaystyle \phi :E^{2}\to \mathbb {R} ,\,(P,Q)\mapsto P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)}
.
Montrer que
ϕ
{\displaystyle \phi }
est un produit scalaire sur
E
{\displaystyle E}
.
Déterminer le plan
G
=
(
X
2
+
X
)
⊥
{\displaystyle G=(X^{2}+X)^{\bot }}
.
Déterminer une base de ce plan.
On munit
E
=
R
2
[
X
]
{\displaystyle E=\mathbb {R} _{2}[X]}
du produit scalaire canonique (
⟨
P
1
,
P
2
⟩
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
+
c
1
c
2
{\displaystyle \langle P_{1},P_{2}\rangle =a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}
pour
P
i
=
a
i
+
b
i
X
+
c
i
X
2
{\displaystyle P_{i}=a_{i}+b_{i}X+c_{i}X^{2}}
). Soit
F
=
(
X
−
1
)
R
1
[
X
]
{\displaystyle F=(X-1)\mathbb {R} _{1}[X]}
.
Déterminer
F
⊥
{\displaystyle F^{\perp }}
.
Quel est le projeté orthogonal de
X
2
+
1
{\displaystyle X^{2}+1}
sur
F
{\displaystyle F}
?
Soient
E
{\displaystyle E}
un espace euclidien et
G
{\displaystyle G}
un sous-groupe fini de
G
L
(
E
)
{\displaystyle \mathrm {GL} (E)}
.
Définir sur
E
{\displaystyle E}
un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne
G
{\displaystyle G}
.
Solution
On pose
f
(
x
,
y
)
=
1
card
(
G
)
∑
g
∈
G
⟨
g
(
x
)
|
g
(
y
)
⟩
{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\operatorname {card} (G)}}\sum _{g\in G}\langle g(x)|g(y)\rangle }
.
Par construction,
f
{\displaystyle f}
est bilinéaire, symétrique et définie positive.
Pour tout
h
∈
G
{\displaystyle h\in G}
,
f
(
h
(
x
)
,
h
(
y
)
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(h(x),h(y))=f(x,y)}
parce que l'application
G
→
G
,
g
↦
g
∘
h
{\displaystyle G\to G,\,g\mapsto g\circ h}
est bijective.
Soit
E
{\displaystyle E}
un espace euclidien de dimension n . On notera
Q
+
+
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {Q}}^{++}(E)}
l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur
E
{\displaystyle E}
et
S
+
+
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{++}(E)}
l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur
E
{\displaystyle E}
. Si
q
∈
Q
(
E
)
{\displaystyle q\in {\mathcal {Q}}(E)}
, on pose
N
(
q
)
=
sup
‖
x
‖
=
1
|
q
(
x
)
|
{\displaystyle N(q)=\sup _{\|x\|=1}|q(x)|}
.
Vérifier que
N
{\displaystyle N}
est une norme sur
Q
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {Q}}(E)}
.
Soit
q
0
∈
Q
+
+
(
E
)
{\displaystyle q_{0}\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)}
. Montrer que
m
:=
inf
‖
x
‖
=
1
q
0
(
x
)
>
0
{\displaystyle m:=\inf _{\|x\|=1}q_{0}(x)>0}
puis que
∀
q
∈
Q
(
E
)
N
(
q
−
q
0
)
<
m
⇒
q
∈
Q
+
+
(
E
)
{\displaystyle \forall q\in {\mathcal {Q}}(E)\quad N(q-q_{0})<m\Rightarrow q\in {\mathcal {Q}}^{++}(E)}
.
En déduire que
Q
+
+
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {Q}}^{++}(E)}
est un ouvert de
Q
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {Q}}(E)}
, donc que
S
+
+
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}^{++}(E)}
est un ouvert de
S
(
E
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}(E)}
.
Soient
u
∈
S
+
(
E
)
{\displaystyle u\in {\mathcal {S}}^{+}(E)}
et
λ
∈
R
+
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}
. Montrer que
ker
(
u
−
λ
i
d
E
)
=
ker
(
u
p
−
λ
p
i
d
E
)
{\displaystyle \ker(u-\lambda \mathrm {id} _{E})=\ker(u^{p}-\lambda ^{p}\mathrm {id} _{E})}
.
Soient
u
∈
S
(
E
)
{\displaystyle u\in {\mathcal {S}}(E)}
et
λ
∈
R
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }
. Montrer que
ker
(
u
−
λ
i
d
E
)
=
ker
(
u
2
p
+
1
−
λ
2
p
+
1
i
d
E
)
{\displaystyle \ker(u-\lambda \mathrm {id} _{E})=\ker(u^{2p+1}-\lambda ^{2p+1}\mathrm {id} _{E})}
.
Soient
A
,
B
∈
S
n
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}_{n}}
. Montrer que
A
2
k
+
1
=
B
2
k
+
1
⇒
A
=
B
{\displaystyle A^{2k+1}=B^{2k+1}\Rightarrow A=B}
.
Soient
A
,
B
∈
S
n
+
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}_{n}^{+}}
. Montrer que
A
k
=
B
k
⇒
A
=
B
{\displaystyle A^{k}=B^{k}\Rightarrow A=B}
.
Soit
(
E
,
⟨
,
⟩
)
{\displaystyle (E,\langle \ ,\ \rangle )}
un espace euclidien (non réduit au vecteur nul). On pose
φ
(
x
,
y
)
=
a
⟨
x
,
x
⟩
+
b
⟨
x
,
y
⟩
+
c
⟨
y
,
y
⟩
{\displaystyle \varphi (x,y)=a\langle x,x\rangle +b\langle x,y\rangle +c\langle y,y\rangle }
.
Pour quelles valeurs de
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
φ
{\displaystyle \varphi }
est-elle un produit scalaire sur
E
{\displaystyle E}
?
Dans les deux cas suivants, montrer que l'application
ϕ
:
E
2
→
R
{\displaystyle \phi :E^{2}\to \mathbb {R} }
est un produit scalaire sur
E
{\displaystyle E}
et déterminer la norme euclidienne associée.
E
=
{
P
∈
R
n
[
X
]
∣
P
(
0
)
=
P
(
1
)
=
0
}
{\displaystyle E=\{P\in \mathbb {R} _{n}[X]\mid P(0)=P(1)=0\}}
et
∀
(
P
,
Q
)
∈
E
2
ϕ
(
P
,
Q
)
=
−
1
2
∫
0
1
(
P
(
t
)
Q
″
(
t
)
+
P
″
(
t
)
Q
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle \forall (P,Q)\in E^{2}\quad \phi (P,Q)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(P(t)Q''(t)+P''(t)Q(t)\right)\,\mathrm {d} t}
;
E
=
R
2
[
X
]
{\displaystyle E=\mathbb {R} _{2}[X]}
et
∀
(
P
,
Q
)
∈
E
2
ϕ
(
P
,
Q
)
=
P
(
0
)
Q
(
0
)
+
P
′
(
0
)
Q
′
(
0
)
+
P
″
(
0
)
Q
″
(
0
)
{\displaystyle \forall (P,Q)\in E^{2}\quad \phi (P,Q)=P(0)Q(0)+P'(0)Q'(0)+P''(0)Q''(0)}
.
À l'aide du produit scalaire
ϕ
{\displaystyle \phi }
défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que
∀
(
x
1
,
x
2
,
y
1
,
y
2
)
∈
R
4
(
x
1
y
1
+
x
2
y
1
+
x
1
y
2
+
2
x
2
y
2
)
2
≤
(
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
2
x
2
2
)
(
y
1
2
+
2
y
1
y
2
+
2
y
2
2
)
{\displaystyle \forall (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\in \mathbb {R} ^{4}\quad (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{2})^{2}\leq (x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{2})(y_{1}^{2}+2y_{1}y_{2}+2y_{2}^{2})}
.
Montrer que pour tout
n
∈
N
∗
{\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{*}}
:
∑
k
=
1
n
k
k
≤
n
(
n
+
1
)
2
n
+
1
2
3
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{\sqrt {k}}\leq {\dfrac {n(n+1){\sqrt {2n+1}}}{2{\sqrt {3}}}}}
;
∀
(
x
k
)
1
≤
k
≤
n
∈
R
+
∗
n
(
∑
k
=
1
n
1
x
k
)
∑
k
=
1
n
x
k
≥
n
2
{\displaystyle \forall (x_{k})_{1\leq k\leq n}\in {\mathbb {R} _{+}^{*}}^{n}\quad \left(\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {1}{x_{k}}}\right)\sum _{k=1}^{n}x_{k}\geq n^{2}}
.
Solution
Il s'agit simplement de l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
pour
ϕ
{\displaystyle \phi }
;
pour le produit scalaire canonique sur
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
et les deux vecteurs :
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle (1,2,\dots ,n)}
et
(
1
,
2
,
…
,
n
)
{\displaystyle ({\sqrt {1}},{\sqrt {2}},\dots ,{\sqrt {n}})}
, sachant que
∑
k
=
1
n
k
2
=
n
(
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
6
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}
et
∑
k
=
1
n
k
=
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}
,
(
1
/
x
1
,
1
/
x
2
,
…
,
1
/
x
n
)
{\displaystyle (1/{\sqrt {x_{1}}},1/{\sqrt {x_{2}}},\dots ,1/{\sqrt {x_{n}}})}
et
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle ({\sqrt {x_{1}}},{\sqrt {x_{2}}},\dots ,{\sqrt {x_{n}}})}
.
Pour
A
∈
M
n
(
R
)
{\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
, on pose
N
(
A
)
=
Tr
(
t
A
A
)
{\displaystyle N(A)={\sqrt {\operatorname {Tr} (^{t}AA)}}}
. Montrer que :
N
{\displaystyle N}
est une norme associée à un produit scalaire ;
cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie
N
(
A
B
)
≤
N
(
A
)
N
(
B
)
{\displaystyle N(AB)\leq N(A)N(B)}
(pour toutes matrices
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
de
M
n
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}
).
Solution
L'application
(
A
,
B
)
↦
Tr
(
t
A
B
)
{\displaystyle (A,B)\mapsto \operatorname {Tr} (^{t}AB)}
étant évidemment un produit scalaire,
N
{\displaystyle N}
est la norme euclidienne associée (c'est en fait — à isomorphisme près — la norme euclidienne canonique sur
R
n
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n^{2}}}
).
N
(
A
B
)
2
=
∑
1
≤
i
,
j
≤
n
c
i
,
j
2
$
a
v
e
c
$
c
i
,
j
2
=
(
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
b
k
,
j
)
2
≤
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
2
∑
ℓ
=
1
n
b
ℓ
,
j
2
{\displaystyle N(AB)^{2}=\sum _{1\leq i,j\leq n}c_{i,j}^{2}\$avec\$c_{i,j}^{2}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}\right)^{2}\leq \sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}}
(par Cauchy-Schwarz), si bien que
N
(
A
B
)
2
≤
∑
1
≤
i
,
j
≤
n
(
∑
k
=
1
n
a
i
,
k
2
∑
ℓ
=
1
n
b
ℓ
,
j
2
)
=
∑
1
≤
i
,
k
≤
n
a
i
,
k
2
∑
1
≤
ℓ
,
j
≤
n
b
ℓ
,
j
2
=
N
(
A
)
2
N
(
B
)
2
{\displaystyle N(AB)^{2}\leq \sum _{1\leq i,j\leq n}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}^{2}\sum _{\ell =1}^{n}b_{\ell ,j}^{2}\right)=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{i,k}^{2}\sum _{1\leq \ell ,j\leq n}b_{\ell ,j}^{2}=N(A)^{2}N(B)^{2}}
.
Dans
R
4
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}
muni du produit scalaire usuel, on pose :
v
1
=
(
1
,
2
,
−
1
,
1
)
{\displaystyle v_{1}=(1,2,-1,1)}
,
v
2
=
(
0
,
3
,
1
,
−
1
)
{\displaystyle v_{2}=(0,3,1,-1)}
et
F
=
Vect
(
v
1
,
v
2
)
{\displaystyle F=\operatorname {Vect} (v_{1},v_{2})}
.
Déterminer une base orthonormée de
F
{\displaystyle F}
et un système d'équations de
F
⊥
{\displaystyle F^{\bot }}
.
Solution
‖
v
1
‖
=
7
{\displaystyle \|v_{1}\|={\sqrt {7}}}
.
v
2
+
λ
v
1
⊥
v
1
⇔
4
+
7
λ
=
0
{\displaystyle v_{2}+\lambda v_{1}\perp v_{1}\Leftrightarrow 4+7\lambda =0}
.
‖
v
2
−
(
4
/
7
)
v
1
‖
=
‖
(
−
4
,
13
,
11
,
−
11
)
‖
/
7
=
427
/
7
{\displaystyle \|v_{2}-(4/7)v_{1}\|=\|(-4,13,11,-11)\|/7={\sqrt {427}}/7}
.
Une b.o.n. de
F
{\displaystyle F}
est donc :
(
v
1
/
7
,
(
−
4
,
13
,
11
,
−
11
)
/
427
)
{\displaystyle (v_{1}/{\sqrt {7}},(-4,13,11,-11)/{\sqrt {427}})}
.
Par ailleurs, un système d'équations de
F
⊥
{\displaystyle F^{\bot }}
est :
x
+
2
y
−
z
+
t
=
0
,
3
y
+
z
−
t
=
0
{\displaystyle x+2y-z+t=0,\,3y+z-t=0}
.
Soient
(
a
i
)
1
≤
i
≤
n
,
(
b
i
)
1
≤
i
≤
n
∈
R
n
{\displaystyle (a_{i})_{1\leq i\leq n},(b_{i})_{1\leq i\leq n}\in \mathbb {R} ^{n}}
, on pose
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
(
a
i
+
b
i
x
)
2
{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i}x)^{2}}
.
Montrer qu'il existe des réels
A
,
B
,
C
{\displaystyle A,B,C}
(à déterminer) tels que
f
(
x
)
=
A
x
2
+
B
x
+
C
{\displaystyle f(x)=Ax^{2}+Bx+C}
.
Étudier le signe de
f
{\displaystyle f}
, calculer son discriminant, et en déduire les inégalités :
|
∑
i
a
i
b
i
|
≤
∑
i
a
i
2
×
∑
i
b
i
2
{\displaystyle \left|\sum _{i}a_{i}b_{i}\right|\leq {\sqrt {\sum _{i}a_{i}^{2}}}\times {\sqrt {\sum _{i}b_{i}^{2}}}}
(Cauchy-Schwarz)
∑
i
(
a
i
+
b
i
)
2
≤
∑
i
a
i
2
+
∑
i
b
i
2
{\displaystyle {\sqrt {\sum _{i}(a_{i}+b_{i})^{2}}}\leq {\sqrt {\sum _{i}a_{i}^{2}}}+{\sqrt {\sum _{i}b_{i}^{2}}}}
(Minkowsky).