Leçons de niveau 15

Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens

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Espaces euclidiens
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Exercices no1
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

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Exercice 1-1[modifier | modifier le wikicode]

L'application Q définie sur par

est-elle une forme quadratique ?

Exercice 1-2[modifier | modifier le wikicode]

Soit vérifiant : .

Que dire de  ?

Exercice 1-3[modifier | modifier le wikicode]

Soit .

  1. Montrer que et .
  2. Étudier les cas d'égalité si .

Exercice 1-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et . Soit .

Montrer que est autoadjoint, puis déterminer α pour que soit une isométrie.

Exercice 1-5[modifier | modifier le wikicode]

Soit vérifiant .

Montrer que est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de par un réel strictement positif.

Exercice 1-6[modifier | modifier le wikicode]

est muni de son produit scalaire canonique : .

Soient . Soit .

Déterminer l'adjoint de .

Exercice 1-7[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace euclidien et un sous-groupe fini de .

Définir sur un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne .

Exercice 1-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace euclidien de dimension n. On notera l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur . Si , on pose .

  1. Vérifier que est une norme sur .
  2. Soit . Montrer que puis que .
  3. En déduire que est un ouvert de , donc que est un ouvert de .

Exercice 1-9[modifier | modifier le wikicode]

  1. Soient et . Montrer que .
  2. Soient et . Montrer que .
  3. Soient . Montrer que .
  4. Soient . Montrer que .

Exercice 1-10[modifier | modifier le wikicode]

Soit . Dans les deux cas suivants, dire si l'application est un produit scalaire sur et le cas échéant, déterminer la norme euclidienne associée.

est définie sur par () :

  1.  ;
  2. .

Exercice 1-11[modifier | modifier le wikicode]

Dans les deux cas suivants, montrer que l'application est un produit scalaire sur et déterminer la norme euclidienne associée.

  1. et  ;
  2. et .

Exercice 1-12[modifier | modifier le wikicode]

  1. À l'aide du produit scalaire défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que
    .
  2. Montrer que pour tout  :
    1.  ;
    2. .

Exercice 1-13[modifier | modifier le wikicode]

Pour , on pose . Montrer que :

  1. est une norme associée à un produit scalaire ;
  2. cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie (pour toutes matrices et de ).

Exercice 1-14[modifier | modifier le wikicode]

Dans muni du produit scalaire usuel, on pose : , et .

Déterminer une base orthonormée de et un système d'équations de .

Exercice 1-15[modifier | modifier le wikicode]

Soient et .

  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
  2. Déterminer le plan .
  3. Déterminer une base de ce plan.

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

« Endomorphismes des espaces euclidiens : 101 exercices corrigés », sur web.archive.org/web/20171117232552/http://mp.cpgedupuydelome.fr,