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Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens

Leçons de niveau 15
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Espaces euclidiens
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Exercices no1
Leçon : Espace euclidien

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Coniques
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Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens
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L'application Q définie sur par

est-elle une forme quadratique ?

Soit vérifiant : .

Que dire de  ?

Soit .

  1. Montrer que et .
  2. Étudier les cas d'égalité si .

Soient et . Soit .

Montrer que est autoadjoint, puis déterminer α pour que soit une isométrie.

Soit vérifiant .

Montrer que est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de par un réel strictement positif.

Soient et .

  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
  2. Déterminer le plan .
  3. Déterminer une base de ce plan.

On munit du produit scalaire canonique ( pour ). Soit .

  1. Déterminer .
  2. Quel est le projeté orthogonal de sur  ?

Soient un espace euclidien et un sous-groupe fini de .

Définir sur un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne .

Soit un espace euclidien de dimension n. On notera l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur . Si , on pose .

  1. Vérifier que est une norme sur .
  2. Soit . Montrer que puis que .
  3. En déduire que est un ouvert de , donc que est un ouvert de .
  1. Soient et . Montrer que .
  2. Soient et . Montrer que .
  3. Soient . Montrer que .
  4. Soient . Montrer que .

Soit un espace euclidien (non réduit au vecteur nul). On pose

.

Pour quelles valeurs de est-elle un produit scalaire sur  ?

Dans les deux cas suivants, montrer que l'application est un produit scalaire sur et déterminer la norme euclidienne associée.

  1. et  ;
  2. et .
  1. À l'aide du produit scalaire défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que
    .
  2. Montrer que pour tout  :
    1.  ;
    2. .

Pour , on pose . Montrer que :

  1. est une norme associée à un produit scalaire ;
  2. cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie (pour toutes matrices et de ).

Dans muni du produit scalaire usuel, on pose : , et .

Déterminer une base orthonormée de et un système d'équations de .

Soient , on pose .

  1. Montrer qu'il existe des réels (à déterminer) tels que .
  2. Étudier le signe de , calculer son discriminant, et en déduire les inégalités :
    1. (Cauchy-Schwarz)
    2. (Minkowsky).