Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Inéquations

**Inéquations**
Leçon : Ensemble des nombres réels et sous-ensembles

Exercices n^o4

Exercices de niveau 11.
Exo préc. :	Intervalles
Exo suiv. :	Sommaire

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Inéquations
Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Inéquations », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Inéquations du premier degré

Résoudre dans $\mathbb {R}$ les inéquations suivantes, et donner les solutions sous forme d'intervalles.

$2x+3>-2$ ;
$-4x+1\leq 2x$ ;
$3x+{\frac {4}{3}}<-3x-{\frac {1}{6}}$ ;
${\sqrt {2}}x-1\geq 3$ .

Solution

$2x+3>-2$
$2x>-2-3$

$2x>-5$

$x>{\frac {-5}{2}}$

Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement supérieurs à ${\frac {-5}{2}}$ , $S=\left]{\frac {-5}{2}},+\infty \right[$ .
$-4x+1\leq 2x$
$1\leq 2x+4x$

$1\leq 6x$

${\frac {1}{6}}\leq x$

Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à ${\frac {1}{6}}$ , $S=\left[{\frac {1}{6}},+\infty \right[$ .
$3x+{\frac {4}{3}}<-3x-{\frac {1}{6}}$
$3x+3x<-{\frac {1}{6}}-{\frac {4}{3}}$

$6x<-{\frac {3}{2}}$

$x<-{\frac {3}{2\times 6}}=-{\frac {1}{4}}$

Les solutions de l'inéquation étant les nombres strictement inférieurs à $-{\frac {1}{4}}$ , $S=\left]-\infty ,-{\frac {1}{4}}\right[$ .
${\sqrt {2}}x-1\geq 3$
${\sqrt {2}}x\geq 4$

$x\geq {\frac {4}{\sqrt {2}}}=2{\sqrt {2}}$

Les solutions de l'inéquation étant les nombres supérieurs ou égaux à $2{\sqrt {2}}$ , $S=\left[2{\sqrt {2}},+\infty \right[$ .

Inéquations de degré supérieur

Démontrer que pour tout réel $x$ , ${\frac {1}{4}}x^{2}\geq x-1$ .
Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x+{\frac {1}{x}}\geq 2$ .

Solution

Montrer la proposition revient à montrer que ${\frac {1}{4}}x^{2}-x+1\geq 0$ .
Or ${\frac {1}{4}}x^{2}-x+1={\frac {1}{4}}\left(x-2\right)^{2}\geq 0$ , donc l'inégalité est toujours vraie.
Montrer la proposition revient à montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, $x+{\frac {1}{x}}-2\geq 0$ .
Or $x+{\frac {1}{x}}-2={\frac {x^{2}+1-2x}{x}}={\frac {\left(x-1\right)^{2}}{x}}$ est du signe de $x$ , donc l'inégalité est vraie pour tout réel $x$ strictement positif.