Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Clepsydre

La clepsydre (du grec ancien κλεψύδρα) était utilisée dès le 2^e siècle avant Jésus-Christ. Cet instrument comporte une cuve fixe contenant de l'eau et percée d'un petit orifice d'aire A₀ sur le fond avec un coefficient de débit CD. L'eau qui s'écoule par l'orifice est recueillie dans un collecteur mobile d'aire A₁ suspendu à deux flotteurs cylindriques plongeant dans la cuve. Le débit dans l'orifice étant faible, l'équipage mobile se déplacera lentement et on pourra négliger son inertie.

Clepsydre — schéma

1. Démontrer mathématiquement que le niveau h de l'eau dans la cuve reste constant au cours du temps tant que les flotteurs n'ont pas atteint le fond de la cuve.
2. Quelle relation peut-on utiliser pour la vitesse du fluide à l'orifice A₀ ? En déduire que le débit par l'orifice est constant et calculer la hauteur à laquelle s'élève le niveau h₁ dans le collecteur en 30 minutes. À quoi pouvait servir la clepsydre ?
3. Si les flotteurs sont enfoncés initialement de 2 cm dans l'eau et si leur section est A = 75 cm², pendant combien de temps le débit restera-t-il constant ? Que fera-t-il ensuite ?

AN : h = 6 cm, C_D = 0,5, A₀ = 0,1 mm², A₁ = 150 cm²

Solution

1. Soit A_f la surface de la cuve fixe. Le volume V_f d'eau contenu dans la cuve fixe est :

$V_{f}=A_{f}h-2Ay$

La masse du volume d'eau déplacée par les flotteurs est :

$\rho \cdot 2Ay=M$

La poussée d'Archimède s'applique car on néglige l'inertie du système, on peut donc considérer le système en équilibre.

On a donc M = masse de l'équipage mobile.

L'équipage mobile a pour masse :

$\rho A_{1}h_{1}+M_{f}$

En différenciant les deux équations vues ci-dessus, on obtient :

$2\rho A\,{\rm {d}}y=\rho A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}$ ou bien $2A\,{\rm {d}}y=A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}$

$A_{1}\,{\rm {d}}h_{1}={\rm {d}}V_{m}$ est aussi la variation du volume de liquide dans la cuve mobile.

On a un écoulement incompressible, on a donc conservation du débit volumique; on peut donc écrire :

${\rm {d}}V_{m}=-{\rm {d}}V_{f}$

$2A\,{\rm {d}}y=2A\,{\rm {d}}y-A_{f}\,{\rm {d}}h\Rightarrow {\rm {d}}h=0$

Donc h est constante.

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2. La loi de Torichelli :

$V_{0}^{2}=2gh$ , avec V₀ vitesse du liquide a l'orifice.

Si h est constante par rapport au temps, V₀ est aussi constant par rapport au temps.

On a donc :

$Q=C_{D}A_{0}V_{0}$ aussi constant (cf. définition du coefficient de débit vu dans le cours)

$Q=C_{D}A_{0}{\sqrt {2gh}}$

$Q=5,886.10^{-}8\,{\rm {m^{3}.s^{-1}}}$

d'où :

$\Delta h_{1}={Q\Delta T \over A_{1}}$

$\Delta h_{1}=7,06\,{\rm {mm}}$

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3. Le débit est constant tant que les flotteurs ne touchent pas le fond, c'est-à-dire pour :

${\begin{aligned}h-y>0&\Rightarrow y<h\\&\Rightarrow y(t)-y(t=0)<h-y(t=0)\end{aligned}}$

En reprenant 1., on avait :

$V_{f}=A_{f}h-2Ay$

${\rm {d}}V_{f}=-2A\,{\rm {d}}y$

${\frac {{\rm {d}}Vf}{{\rm {d}}t}}=-2A{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}t}}=-Q$

${\rm {d}}y={Q \over 2A}{\rm {d}}t$

$\Delta y={Q \over 2A}\Delta t$

d'où :

$\Delta t={2A\Delta y \over Q}$ pour $\Delta y=h-y(t=0)$

$\Delta t={2A(h-y(t=0)) \over Q}$

${\begin{aligned}\Delta t&=10193,7{\rm {s}}\\&=2\,{\rm {h}}49\,{\rm {min}}54\,{\rm {s}}\end{aligned}}$

Quand le flotteur atteint le fond, h n'est plus constant et V non plus. Avec $V_{0}^{2}=2gh$ on a :

h diminue, V diminue et Q diminue.