Dynamique des fluides parfaits/Exercices/Canal d'irrigation

Un courant d’eau, de vitesse v1, s’écoule sous l’effet de la gravité dans un canal d’irrigation bidimensionnel de profondeur h partiellement fermé par une vanne. On néglige les effets visqueux et les pertes de charge.

Canal d'irrigation

1. Tracer le profil de pression au fond du canal et sur les côtés amont et aval.

2. Calculer la profondeur l en aval de la vanne.

3. Calculer la force F exercée par le courant d’eau sur la vanne.

AN : v1 = 1 m s-1, h = 80 cm Solution : l = 22,9 cm, F = 890 N m-1

Solution

1. Calcul de $l$

On a une conservation de la masse, donc une conservation du débit volumique car le fluide est incompressible. On a donc : $v_{1}A_{1}=v_{2}A_{2}$ avec $v_{1},v_{2}$ vitesse aux points 1 et 2 respectivement, et $A_{1}etA_{2}$ aire des section aux points 1 et 2.

Soit $L$ la longueur du canal, on a donc :

$v_{1}Lh=v_{2}lL$ et $l={hv_{1} \over v_{2}}$

Il faut déterminer $v_{2}$, pour cela on utilise la formule de Bernouilli sur une ligne de courant au fond du canal. On a alors :

$P_{f}+\rho gh+{1 \over 2}\rho v_{1}^{2}=P_{f}+\rho gl+{1 \over 2}\rho v_{2}^{2}$

Avec $P_{f}$ pression au fond du canal.

On a donc :

$v_{2}^{2}=2g(h-l)+v_{1}^{2}$

On a donc le système suivant a résoudre :

${\begin{cases}v_{1}h=v_{2}l\\v_{2}^{2}=2g(h-l)+v_{1}^{2}\end{cases}}$

${\begin{cases}v_{1}h=v_{2}l\\v_{2}=v_{1}{h \over l}\end{cases}}$

${\begin{cases}v_{1}^{2}{h \over l}^{2}=2g(h-l)-v_{1}^{2}\\v_{2}=v_{1}{h \over l}\end{cases}}$

$v_{1}^{2}(h^{2}-l^{2})=2g(h-l)l^{2}$

$v_{1}^{2}(h+l)=2gl^{2}$

$2gl^{2}-v_{1}^{2}l-v_{1}^{2}h=0$

$l={v_{1}^{2}\pm {\sqrt {v_{1}^{4}+8gv_{1}^{2}h}} \over 4g}$

Et

$l>0\rightarrow$

$l={v_{1}^{2}+{\sqrt {v_{1}^{2}(v_{1}^{2}+8gh)}} \over 4g}$

$l={v_{1}^{2}+v_{1}{\sqrt {v_{1}^{2}+8gh}} \over 4g}$

En application numérique, on trouve :

$l=22,9cm$ et $v_{2}=3,49ms^{-1}$

2. On représente sur le schéma suivant la force exercée par la vanne sur le fluide, ainsi que les autres forces environnante ( pour le bilan de force) :

On projète alors sur l’axe x de l’équation d’Euler :

$Q_{m}(v_{2}-v_{1})=F_{1}-F_{2}+F-P_{a}tm(A_{1}-A_{2})$

$Q_{m}=(v_{1}A_{1})l$

On a donc :

$F_{1}={\rho gh^{2} \over 2}L+P_{a}tmA_{1}$

$F_{2}={\rho gl^{2} \over 2}L+P_{a}tmA_{2}$

$F=Q_{m}(v_{2}-v_{1})+F_{2}-F_{1}+P_{a}tm(A_{1}-A_{2})$

$F=v_{1}A_{1}\rho (v_{2}-v_{1})+{\rho gL \over 2}(l^{2}-h^{2})$

${F \over L}=v_{1}h\rho (v_{2}-v_{1})+{\rho g \over 2}(l^{2}-h^{2})$

Application numérique :

On trouve ${F \over L}=-890N/m$