Dynamique/Lois de Newton

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Les lois de Newton sont les lois fondamentales de la mécanique, c'est-à-dire qu'elles se veulent universelles, applicables quelle que soit la situation physique observée (contrairement, par exemple, à la loi de Galilée stipulant que tous les corps tombent en chute libre à la même vitesse, puisque cette loi se contente de décrire un phénomène physique bien particulier, la chute libre). Elles sont au nombres de trois, et ces trois lois, associée à la connaissance précise des forces qui s'appliquent sur un point matériel, suffisent pour traiter tout problème de mécanique. Cependant, il existe certains phénomènes où l'application directe de ces lois est lourde, et les physiciens ont alors développé de nouveaux outils pour traiter ces phénomènes (le mouvement de rotation, par exemple, est absolument résoluble avec les lois de Newton, mais on préfère utiliser un autre outil, et des théorèmes dérivant des lois de Newton, le moment cinétique et le théorème du moment cinétique. Mais chaque chose en son temps)

Première Loi de Newton (ou principe d'inertie)

Originellement, dans son ouvrage Principes Mathématiques de la Philosophie Naturelle, Newton expose sa première loi comme suit :

"Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme dans lequel il se trouve à moins que quelque force n'agisse sur lui"

Cependant, pour montrer que cet énoncé (que l'on retrouve encore, quelques fois, tel quel dans des manuels) est insuffisant, partons d'un exemple : considérons une vache dans un champ, parfaitement immobile dans le référentiel terrestre, et aux forces qui s'appliquent sur elle se compensant. Considérons maintenant une voiture traversant un virage et observant cette vache. Évidemment, indépendamment du référentiel, les forces qui s'appliquent sur la vache sont les mêmes. Ce qui signifie donc que, même dans le référentiel de la voiture, la vache voit toutes les forces s'appliquer sur elle se compenser. Cependant, le mouvement de la vache dans le référentiel de la voiture prenant un virage sera non pas rectiligne uniforme mais courbé.

On voit, grâce à cette expérience, que la véracité ou non de cette loi dépend intimement du référentiel d'étude. Le référentiel terrestre est intéressant, car il vérifie le principe d'inertie. Ainsi, on peut reformuler correctement la Première Loi de Newton comme :

"Il existe une série de référentiels privilégiés, appelés référentiels galiléens, dans lequel tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme dans lequel il se trouve à moins que quelque force n'agisse sur lui".

On peut montrer que tout référentiel galiléen est en mouvement rectiligne uniforme par rapport à tout autre référentiel galiléen. En trouver un, c'est donc en trouver une infinité.

Il n'existe cependant aucun référentiel rigoureusement galiléen, car l'univers est en expansion accélérée, tout bouge et tout tourne. Cependant, si une expérience physique a une durée très faible devant la durée de rotation d'un référentiel non galiléen, on peut le considérer alors comme approximativement galiléen. Un exemple : le référentiel géocentrique, dont l'origine est au centre de la Terre, n'est évidemment pas galiléen puisque la Terre tourne autour du Soleil. Cependant, si la durée d'une expérience physique est très faible devant la durée de rotation de la Terre autour du Soleil (un an), alors on peut considérer que le référentiel géocentrique est galiléen, puisque les effets liés au caractère non galiléen du référentiel (que nous étudierons plus tard), ne se font pas ressentir.

Voici une liste des principaux référentiels utilisés, et leurs "circonstances de galiléanité"

• Référentiel terrestre (ou référentiel du laboratoire) : Il s'agit du référentiel ayant son centre au niveau du sol (ou du laboratoire), et tournant avec la Terre. C'est le référentiel couramment utilisé lorsque l'on fait des expériences de mécanique. Il peut être considéré comme galiléen si la durée de l'expérience est faible devant la période de rotation de la Terre sur elle-même (vingt-quatre heures).
• Référentiel géocentrique : Il s'agit du référentiel ayant son centre au niveau du centre de la Terre, et les axes pointant vers des étoiles supposées fixes. Ce référentiel peut être considéré comme galiléen si la durée de l'expérience est faible devant la période de rotation de la Terre autour du Soleil (un an)
• Référentiel héliocentrique : Il s'agit du référentiel ayant son centre au niveau du centre du Soleil, et les axes pointant vers des étoiles supposées fixes. Ce référentiel peut être considéré comme galiléen si la durée de l'expérience est faible devant la période de rotation du Soleil autour de la galaxie (de l'ordre de quelques millions d'années).

Deuxième Loi de Newton (ou principe fondamental de la dynamique)

Cette loi nécessite l'introduction d'une nouvelle grandeur, la quantité de mouvement. Cette grandeur ne correspond sûrement à rien de directement mesurable mais est nécessaire pour énoncer la deuxième loi de Newton. La quantité de mouvement est un vecteur, que l'on note $\mathbf {p}$ et qui vaut tout simplement $m\mathbf {v}$ .On a vu en cours de cinématique que la vitesse dépend du référentiel choisi, et conséquemment la quantité de mouvement dépend du référentiel choisi. Si, au début du cours de mécanique, on pourra se contenter d'indiquer a priori le référentiel d'étude afin d'éviter des notations lourdes du style $\mathbf {p} _{\backslash ({\mathcal {R}})}=m\mathbf {v} _{\backslash ({\mathcal {R}})}$, il faudra prendre garde à bien préciser à chaque fois le référentiel d'étude quand on étudiera les référentiels non galiléens.

La deuxième loi de Newton s'énonce ainsi : Soit un point matériel de quantité de mouvement $\mathbf {p}$. On a alors, dans un référentiel galiléen,

${\dfrac {{\text{d}}\mathbf {p} }{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{i}{\mathbf {F_{i}} }$

où les $\mathbf {F_{i}}$ sont les forces s'appliquant sur le point matériel. On verra plus tard, en mécanique du solide, que cette loi reste presque vraie pour un solide : il suffit en vérité de ne considérer que les forces extérieures au solide, et non les forces de cohésion comme la force de Van der Waals.

Dans le cas où la masse est constante (seul cas qui nous intéressera pour un long moment, l'étude des systèmes ouverts (systèmes pouvant perdre ou gagner de la masse) étant plus ardue), on peut donc, par linéarité de la dérivation, la "sortir" de la dérivée. Il vient

${\dfrac {{\text{d}}\mathbf {p} }{{\text{d}}t}}=m{\dfrac {{\text{d}}\mathbf {v} }{{\text{d}}t}}=m\mathbf {a} =\sum \limits _{i}{\mathbf {F_{i}} }$

Troisième Loi de Newton (ou principe des actions réciproques)

Considérons deux points matériels, que nous noterons A et B. Le principe des actions réciproques énonce que si le point A exerce sur le point B une force (que l'on appellera ici une action), que nous noterons $\mathbf {F} _{A\rightarrow B}$, alors le point B exerce aussi sur le point A une force (que l'on appellera ici une réaction), qui vérifie $\mathbf {F} _{B\rightarrow A}=-\mathbf {F} _{A\rightarrow B}$. On résume cela en disant que l'action est tout le temps égale (en norme) et opposée à la réaction.

D'autres postulats

Les trois lois énoncées ci-dessus sont les trois lois avancées comme axiome par Newton dans son ouvrage Philosphiae Naturalis Principia Mathematica. Cependant, ces lois vues seules ne sont pas les seuls postulats de la physique de Newton, c'est-à-dire les seuls résultats admis. En plus des quatre postulats fondamentaux énoncés dans le cours de cinématique, il faudrait ajouter trois postulats :

• Les forces sont indépendantes du référentiel. C'est-à-dire que l'expression, la valeur d'une force sera la même quel que soit l'observateur
• Le vecteur position d'un point est colinéaire au vecteur somme des forces qu'il subit (ce que l'on formalise comme $\mathbf {OM} \wedge \mathbf {F} =\mathbf {0}$)
• La masse inertielle est indépendante du référentiel.