Leçons de niveau 15

Dualité/Exercices/Propriétés

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Propriétés
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Exercices no1
Leçon : Dualité
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Sommaire
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Dualité/Exercices/Propriétés
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Sur l'espace vectoriel E des suites réelles convergentes, soit la famille de formes linéaires définie par si et .

  1. Vérifier que cette famille est libre.
  2. Donner un exemple de famille de réels telle qu'il n'existe aucune suite vérifiant .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer (par récurrence sur ) que si est une famille libre finie de formes (linéaires) sur un K-espace vectoriel E, il existe des vecteurs tels que (autrement dit : l'application linéaire est surjective).
  2. Retrouver ainsi (cf. Application linéaire/Exercices/Rang#Exercice 3-2) qu'une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs.
Wikipédia possède un article à propos de « Application transposée ».

Soient deux espaces vectoriels. Soit une application linéaire. Son application linéaire transposée est notée (). Pour tout s.e.v. de on note le s.e.v. de constitué des formes linéaires qui s'annulent sur (de même, pour tout s.e.v. de , on note …).

  1. Démontrer que .
  2. En déduire que est injective si et seulement si est surjective.
  3. Démontrer que .
  4. En déduire que est surjective si et seulement si est injective.
  5. On suppose désormais , et l'on note les composantes de . Déduire de 2) que est surjective si et seulement si est libre. Déduire de 4) que est injective si et seulement si engendre .

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

1. Montrer que les trois vecteurs , et forment une base de et trouver la base duale.

2. Soient un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de et la base duale de . Soient

.

Montrer que est une base de et déterminer sa base préduale, c.-à-d. la base de dont elle est la base duale.

3. Sur , on considère les cinq formes linéaires , , , et définies par :

(pour tout ).
  1. Montrer que est une base de et déterminer sa base préduale .
  2. Déterminer les coordonnées de dans la base .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et pour tout et , .

  1. Justifier que pour tout , est une forme linéaire sur .
  2. Montrer que la famille est la base duale de la base canonique de .