Leçons de niveau 15

Dualité/Exercices/Propriétés

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Propriétés
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Exercices no1
Leçon : Dualité
Chapitre du cours : Propriétés

Exercices de niveau 15.

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Dualité/Exercices/Propriétés
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Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Sur l'espace vectoriel E des suites réelles convergentes, soit la famille de formes linéaires définie par si et .

  1. Vérifier que cette famille est libre.
  2. Donner un exemple de famille de réels telle qu'il n'existe aucune suite vérifiant .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Montrer (par récurrence sur ) que si est une famille libre finie de formes (linéaires) sur un K-espace vectoriel E, il existe des vecteurs tels que (autrement dit : l'application linéaire est surjective).
  2. Retrouver ainsi (cf. Application linéaire/Exercices/Rang#Exercice 3-2) qu'une forme est combinaison linéaire d'un ensemble fini de formes données si (et seulement si) son noyau contient l'intersection des leurs.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

1. Montrer que les trois vecteurs , et forment une base de et trouver la base duale.

2. Soient un -espace vectoriel de dimension 3 et une base de et la base duale de . Soient

.

Montrer que est une base de et déterminer sa base préduale, c.-à-d. la base de dont elle est la base duale.

3. Sur , on considère les cinq formes linéaires , , et définies par :

(pour tout ).
  1. Montrer que est une base de et déterminer sa base préduale .
  2. Déterminer les coordonnées de dans la base .

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et pour tout et , .

  1. Justifier que pour tout , est une forme linéaire sur .
  2. Montrer que la famille est la base duale de la base canonique de .