Leçons de niveau 16

Distributions statistiques des particules/Statistique de Maxwell-Boltzmann

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Statistique de Maxwell-Boltzmann
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Chapitre no 1
Leçon : Distributions statistiques des particules
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La statistique de Maxwell-Boltzmann est une loi de probabilité ou distribution utilisée en physique statistique pour déterminer la répartition de particules entre différents niveaux d'énergie. Elle est notamment à la base de la théorie cinétique des gaz. La démonstration ci-après est basée sur celle de Rocard[1].

Dénombrement des états[modifier | modifier le wikicode]

Soit une boîte contenant une seule case. Il y a deux possibilités pour deux particules discernables, noire ou blanche, soit  :

MaxwellQuantique1.jpg


Pour deux particules discernables dans deux cases de la boîte il y a quatre combinaisons, soit  :


Il y a 9 configurations possibles pour placer deux particules discernables dans trois cases :


Le nombre de combinaisons de deux particules dans trois cases est de 9 combinaisons distinctes :

Soit une boîte de g cases contenant n particules. En appliquant la formule des arrangements de n = 2 particules dans g = 3 cases (la dégénérescence ou poids statistique g est le nombre de configurations physiques ou d’états distincts de même énergie), on a

Multiplicateurs de Lagrange[modifier | modifier le wikicode]

À l’équilibre, la probabilité doit être extrémale, et sa variation doit donc être nulle :

Le nombre total de particules est constant:

L’énergie totale doit être extrémale à l’équilibre :

On peut additionner ces trois expressions nulles selon la méthode des multiplicateurs de Lagrange :

où a et b sont des constantes à déterminer. Comme cela doit être vrai quels que soient les , on doit avoir

Distribution de Maxwell-Boltzmann quantique ou corrigée[modifier | modifier le wikicode]

L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :

On doit retrouver pour le facteur de Boltzmann lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :

en posant

On obtient la fonction de distribution de Maxwell-Boltzmann quantique:

Distribution de Maxwell-Boltzmann classique[modifier | modifier le wikicode]

La distribution classique, continue, ignore la dégénérescence, c'est-à-dire que . L'équation précédente donne la fonction d’occupation de chaque état d’énergie Ei :

On doit retrouver pour le facteur de Boltzmann lorsque l’exponentielle est très supérieure à un. L’identification des fonctions d’occupation de Maxwell classique et quantique, en l’absence d’effets quantiques donne :

en posant

On a la fonction de distribution :

En prenant un potentiel chimique μ nul, comme énergie l'énergie cinétique des molécules d'un gaz et une distribution continue des vitesses, on obtient une distribution gaussienne des vitesses (à un coefficient près) :

Références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, 1957

Voir aussi[modifier | modifier le wikicode]

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