Leçons de niveau 16

Distributions statistiques des particules/Condensation de Bose-Einstein

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Condensation de Bose-Einstein
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Chapitre no 4
Leçon : Distributions statistiques des particules
Chap. préc. :Statistique de Bose-Einstein
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Distributions statistiques des particules/Condensation de Bose-Einstein
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Les bosons, contrairement aux fermions, ne sont pas soumis au principe d'exclusion de Pauli : un nombre illimité de bosons est capable d'occuper le même état d'énergie en même temps.

Ceci explique le comportement très différent des bosons et des fermions à basse température. Une fraction macroscopique des bosons va se condenser à l'état de plus basse énergie. C'est ce que l’on appelle la condensation de Bose-Einstein.

On étudie dans ce chapitre le cas d'un gaz parfait de bosons (les particules n'interagissent pas entre elles) de spin 0 confiné dans un volume V = L³.

Étude du gaz de bosons[modifier | modifier le wikicode]

On introduit une fonction g telle que g(ε) dε soit le nombre d'états d'énergie comprise entre ε et ε + dε. g s’appelle la fonction « densité d'états ». Pour calculer g(ε), on va d’abord calculer G(ε), le nombre d'états d'énergie inférieure à ε.

G(ε) peut être approché par le nombre d'états dont le vecteur de composantes (nx, ny, nz) pointe à l'intérieur de la boule de rayon .

Le volume de cette boule est . Or, avec la quantification des énergies, chaque état occupe un volume de 1. Donc

Or g(ε) dε = G(ε + dε) - G(ε) donc , d'où

En choisissant l'énergie du niveau fondamental nulle, la distribution de Bose-Einstein donne par intégration sur les énergies :

En introduisant la densité particulaire et la longueur d'onde thermique Λ :

Température de Bose[modifier | modifier le wikicode]

On examine maintenant la variation du potentiel chimique de ce gaz de bosons. On introduit :

  • le paramètre thermodynamique γ : γ = - β μ
  • la fonction

Il doit donc exister γ tel que n Λ³ = I(γ). Comme le potentiel chimique μ est toujours inférieur à l'énergie du niveau fondamental, on doit donc avoir μ < 0, donc γ > 0.

Or on ne pourra trouver de valeur positive à γ que si .

La température pour laquelle est appelée température de Bose, notée TB, et sépare deux domaines de température dans lesquels le système possède des propriétés totalement différentes :

En-dessous de TB[modifier | modifier le wikicode]

Examinons le niveau d'occupation de l'état fondamental :

Lorsque , , n₀ peut diverger. Ce qui se passe en réalité est la condensation de Bose-Einstein : les particules se condensent en fraction macroscopique dans l'état fondamental.

Pour T < TB, on a donc μ=0. On peut calculer le nombre d'atomes non condensés :

En-dessous de TB, un nombre très important de particules (proportionnel à N) tombe dans l'état fondamental lorsque T décroît :

Conclusion sur la condensation de Bose-Einstein[modifier | modifier le wikicode]

Bose Einstein condensate.png

La teinte de ce graphe en fausses couleurs indique le nombre d'atomes ayant l'énergie correspondante, le rouge correspondant aux hautes énergies, et le bleu-blanc aux basses énergies.

  • À gauche : T=400 nK, juste avant l'apparition du condensat de Bose-Einstein
  • Au centre : T=200 nK, juste après l'apparition du condensat,
  • À droite : T=50 nK, il ne reste que du condensat de Bose-Einstein « pur ».

Bibliographie[modifier | modifier le wikicode]

« Physique statistique et gaz parfaits », Patrice BACHER