Leçons de niveau 15

Dispersion des ondes/Paquets d'ondes

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Paquets d'ondes
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Chapitre no 1
Leçon : Dispersion des ondes
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Chap. suiv. :Diagramme de dispersion
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Dispersion des ondes/Paquets d'ondes
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Vitesse de phase[modifier | modifier le wikicode]

Intéressons-nous tout d’abord à une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω se propageant suivant le sens et la direction d'un vecteur . Au point repéré par le vecteur position et à l'instant t, son amplitude est de la forme

Intéressons-nous au terme de phase. Il est de la forme , où s’appelle le vecteur d'onde.

Pour simplifier les notations, on considérera dans tout le reste de ce chapitre la propagation unidimensionnelle suivant l'axe vers les x positifs.

Le terme de phase devient alors , et l'amplitude de l'onde devient




1D Progressive Wave.gif

Pour calculer cette vitesse de phase, on va tenir le petit raisonnement suivant :

  • Une surface équiphase vérifie
  • Dans le cas d'une propagation suivant x, la vitesse de cette surface équiphase vérifie
  • Finalement

30x-Checkmark.png

Vitesse de phase

Dans ce cas d'une onde plane monochromatique, on retombe bien sur la relation démontrée et utilisée en acoustique ou en électromagnétisme. La vitesse de phase est alors aussi la vitesse de propagation de l'onde plane (voir animation ci-contre).

Paquet d'ondes[modifier | modifier le wikicode]

Émission train d'onde.png

Si les ondes planes monochromatiques sont un sujet d'étude « facile » dans le sens où on peut rapidement en déduire de nombreuses propriétés, elles ne permettent malheureusement pas de rendre compte fidèlement des phénomènes réels. En effet, le modèle de l'onde plane mathématique monochromatique la représente comme une onde d'étendue infinie dans l'espace et dans le temps. Ce modèle n'est donc pas satisfaisant.

Dans la réalité, les ondes sont émises par « trains d'ondes » ou « paquets d'ondes ». Par exemple, un atome excité qui réduit son énergie en faisant passer l'un de ses électrons à un niveau d'énergie inférieur émet une onde électromagnétique, qui est bien sûr finie dans le temps (environ ) et dans l'espace.

C'est là qu'intervient la théorie de Fourier : tout train d'ondes peut s'écrire comme combinaison linéaire d'ondes planes progressives monochromatiques de pulsations ω différentes, donc de nombres d'onde k différents.

Logo physics.svg Pour plus de détails sur la transformée de Fourier et ses applications, se reporter au cours Série et transformée de Fourier en physique

Un train d'ondes peut donc s'écrire sous la forme d'intégrale de Fourier :


Influence de la propagation[modifier | modifier le wikicode]

Calcul[modifier | modifier le wikicode]

C'est là que les choses se compliquent. Dans la plupart des milieux matériels, la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dépend de la fréquence. En d'autres termes, on peut écrire ω comme une fonction de k.

On suppose également que l'onde est « quasiment monochromatique » autour d'un nombre d'onde , de sorte qu'on puisse avec une bonne approximation faire un calcul à l’ordre 1 :

Remarque : Cette dernière considération peut se justifier par le principe d'incertitude de Heisenberg, qui relie l'extension spatiale du paquet d'onde à l'extension du spectre du paquet d'ondes dans l'espace des vecteurs d'onde.

En notant

On pose

D'où l’expression finale :


Interprétation[modifier | modifier le wikicode]

représente la forme du paquet d'ondes dans le temps et dans l'espace.

En effet, dans son expression, on a une dépendance entre x et t : . On assiste donc à un phénomène de propagation de l'enveloppe de l'onde à la vitesse




Vitesse de groupe et vitesse de phase[modifier | modifier le wikicode]

On remarque alors que, a priori, dans le cas général, il n'y a aucune raison pour que .

Début d’un principe


Fin du principe


L'animation ci-dessous illustre l'influence de la différence de vitesse de propagation des ondes de fréquences différentes sur l'allure de la vibration propagée.

Wave disp.gif

On y retrouve bien une structure en paquets d'ondes. Ces paquets d'ondes se déplacent à une certaine vitesse (la vitesse de groupe ) tandis que la phase de la vibration se déplace à une autre vitesse (la vitesse de phase ). L'animation ci-dessous met en évidence la différence entre ces deux vitesses :

  • Les points verts se déplacent à la vitesse de groupe
  • Les points rouges se déplacent à la vitesse de phase
Wave group.gif

La distinction est importante à faire et sera développée dans d'autres cours, qui parfois tirent avantageusement parti, parfois subissent les différences entre ces deux grandeurs, causées par la dispersion.

Dispersion des milieux[modifier | modifier le wikicode]



En effet, dans un milieu non dispersif, et .

Milieu non dispersif

Milieu dispersif

Wave packet (no dispersion).gif Wave packet (dispersion).gif

Cas des signaux de grande étendue spectrale[modifier | modifier le wikicode]

On a fait dans ce dernier paragraphe l'hypothèse d'une onde quasiment monochromatique, ce qui n'est souvent pas suffisant dans la réalité. Dans un milieu dispersif où toutes les fréquences ne se propagent pas à la même vitesse, une plus grande étendue spectrale amène à une plus grande déformation du paquet d'ondes sur de grandes distances, posant le problème de la reconstitution du signal initial à la réception.

La problématique de la transmission des ondes électromagnétiques dans des milieux dispersifs est fondamentale dans les applications d'aujourd'hui, notamment car un guide d'ondes se comporte comme un milieu dispersif.

Logo physics.svg Toutes ces considérations seront approfondies dans le cours sur les ondes électromagnétiques guidées.