Discussion:Équation du troisième degré/Simplification des racines

Bon j’ai rajouté la démonstration sur les racines cubiques d'un complexe. J’aimerais que quelqu’un d’autre la vérifie. Par contre, je ne vois pas pour la démonstration de la relation liant y à x. Un petit rajout à faire... La démonstration pour les nombres quadratiques doit être similaire ... Voilà merci pour votre contribution ! 90.7.56.71 18 avril 2010 à 10:11 (UTC)

Je vous remercie pour votre contribution. Je suis tout de même bien ennuyé, car je ne vois pas comment, à partir de votre démonstration, faire le petit rajout dont vous parlez pour établir la relation donnant y en fonction de x. votre démonstration me semble bien compliquée. On aurait pu, plus directement, à partir du système :

$\left\{{\begin{array}{l}x^{3}+3xy^{2}=a\\3x^{2}y-y^{3}=b\end{array}}\right.$

prendre le résultant par rapport à y. Ce qui donnait directement la relation :

$64x^{9}-48ax^{6}+(15a^{2}-27b^{2})x^{3}-a^{3}=0$

La démonstration que j’avais prévue, ne fait pas apparaître de racine carrée tout en amenant naturellement la relation donnant y en fonction de x. Je ne voudrais pas vous décourager, car les personnes qui viennent m'aider dans l'écriture de ce cours sur les équations du troisième degré sont très rares, mais je ne sais plus quoi faire. J'espère que vous ne m'en voudrez pas si finalement je décidais d'enlever votre démonstration pour en mettre une autre.

Très cordialement. --Lydie Noria 18 avril 2010 à 10:59 (UTC)

Je suis vraiment désolé, mais je ne suis qu'un simple élève de Terminale, la notion de résultant m’est tout à fait inconnue... Mais si la démonstration que cette notion apporte est plus simple, il est vrai qu’il est plus souhaitable de la changer. Autre chose : j’ai testé la méthode de Sotta pour résoudre l'équation $x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$, qui est en fait le développement de $(x+2)(x-3)(x-1)$. Ainsi, cela me permettait de vérifier les solutions obtenues. J'obtiens ainsi, en notant ${\sqrt[{3}]{A}}$ une des racines cubiques de A :$x1={\frac {(22+15{\sqrt {3}}i){\sqrt[{3}]{10108-16245{\sqrt {3}}i}}-(22-15{\sqrt {3}}i){\sqrt[{3}]{10108+16245{\sqrt {3}}i}}}{19{\sqrt[{3}]{10108-16245{\sqrt {3}}i}}-19{\sqrt[{3}]{10108+16245{\sqrt {3}}i}}}}$; et idem pour x2 et x3 en multipliant en haut et en bas par j puis j² conformément à la formule. Est il possible de démontrer que ces solutions valent en fait les nombres entiers cherchés -2; 3 et 1 ?

Merci beaucoup pour votre aide !

90.7.186.223 24 avril 2010 à 19:13 (UTC)

Si vous étes un élève de terminale, je vous félicite de vous interressiez à autres choses qu'au programme de terminale. Pour la simplification de :

$x1={\frac {(22+15{\sqrt {3}}i){\sqrt[{3}]{10108-16245{\sqrt {3}}i}}-(22-15{\sqrt {3}}i){\sqrt[{3}]{10108+16245{\sqrt {3}}i}}}{19{\sqrt[{3}]{10108-16245{\sqrt {3}}i}}-19{\sqrt[{3}]{10108+16245{\sqrt {3}}i}}}}$

vous pouvez utiliser le chapitre 5 : simplification des racines, du présent cours et en particulier l'exemple du premier paragraphe appliquée au nombre 18 + 26i que vous pouvez transposer au nombre $10108+16245i{\sqrt {3}}$ et au nombre $10108-16245i{\sqrt {3}}$.

Il est toutefois à remarquer que l'extraction de racines cubiques passe par la recherche de racines évidentes dans une équation de troisième degré et par conséquent, il n'y a pas grand intérêt à utiliser la méthode de Sotta ou la méthode de Cardan dans ce cas. Puisque l’on peut aussi bien rechercher des racines évidentes dans l'équation de départ :

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=0~$

Les mathématiciens ont montré que d'une façon générale, il est impossible de trouver une méthode de résolution qui permettrait de trouver une solution entière dans une équation du troisième degré sans passer à un moment ou à un autre par une recherche de racines évidentes. La méthode de Sotta permet de trouver directement des racines entières seulement dans quelques cas particuliers comme, par exemple, lorsque les trois racines de l'équation sont trois nombres entiers consécutifs (essayer, vous verrez).

Pour en revenir à la notion de résultant, vous pouvez étudier la fin du chapitre 2 du présent cours ou j’ai envisagé quelques résultants particuliers qui permettent d'éliminer des inconnues entre des équations ou les inconnues sont à la puissance 2 ou 3. Je vous met ci-après comment à partir de :

$\left\{{\begin{array}{l}3x^{2}y-y^{3}=b\\x^{3}-3xy^{2}=a\end{array}}\right.$

on peut, en éliminant y entre les deux équations obtenir :

$64x^{9}-48ax^{6}+(15a^{2}-27b^{2})x^{3}-a^{3}=0$

Il suffit d’utiliser le résultant R_3-2 en posant selon les notations du chapitre 2 :

$a_{3}=-1\quad a_{2}=0\quad a_{1}=3x^{2}\quad a_{0}=-b\quad b_{2}=-3x\quad b_{1}=0\quad b_{0}=x^{3}-a~$

On obtient en remplaçant dans :

$R_{3-2}=a_{3}^{2}b_{0}^{3}+a_{0}^{2}b_{2}^{3}+a_{2}^{2}b_{0}^{2}b_{2}+a_{1}^{2}b_{0}b_{2}^{2}+a_{1}a_{3}b_{0}b_{1}^{2}+a_{0}a_{2}b_{1}^{2}b_{2}+3a_{0}a_{3}b_{0}b_{1}b_{2}...~$

$...-a_{0}a_{3}b_{1}^{3}-2a_{1}a_{3}b_{0}^{2}b_{2}-2a_{0}a_{2}b_{0}b_{2}^{2}-a_{2}a_{3}b_{0}^{2}b_{1}-a_{0}a_{1}b_{1}b_{2}^{2}-a_{1}a_{2}b_{0}b_{1}b_{2}~$

$R_{3-2}=(-1)^{2}(x^{3}-a)^{3}+(-b)^{2}(-3x)^{3}+(3x^{2})^{2}(x^{3}-a)(-3x)^{2}-2(3x^{2})(-1)(x^{3}-a)^{2}(-3x)~$

En égalant cette expression à 0, on trouve bien, après simplification :

$64x^{9}-48ax^{6}+(15a^{2}-27b^{2})x^{3}-a^{3}=0$

Malgré tout, je ne pense pas procéder ainsi car cela ne me permet toujours pas d'obtenir la relation de y en fonction de x.

Je vous signale aussi qu’il y avait une erreur de signe dans votre démonstration à la cinquième ligne. Vous auriez du écrire :

En simplifiant et en regroupant partie réelle et imaginaire : $(x^{3}-3xy^{2})+i(3x^{2}y-y^{3})$

Essayer d'étudier ce cours dans l’ordre des chapitres car il y a dans certains chapitres certaines choses utiles pour les chapitres suivants (comme la notion de résultant).

Je pense que vous pouvez y arriver facilement car ce cours ne nécessite pas d'autres pré-requis que les connaissances que l’on a normalement en terminale.

Très cordialement.--Lydie Noria 26 avril 2010 à 13:04 (UTC)

Mais alors peut on vraiment considérer que l’on sait résoudre de manière générale l'équation du 3° (et donc aussi du 4°) si les méthodes qu'on utilise nous donne des résultats non simplifiables, ce qui n’est pas le cas pour le 2° degré ? Le test de racines évidentes est bien une manière peu "noble" de procéder. C'est bien beau de claironner que "les équations du 0° au 4° degré sont résolubles par radicaux", mais à mon avis cette remarque est tout aussi importante pour être soulignée... La démonstration sur les solutions entières m'intéresse. Savez vous qui en est l'auteur et si elle est consultable ? Merci beaucoup pour votre aide ! 90.34.219.8 2 août 2010 à 15:33 (UTC)

Désolée de ne pas vous avoir répondu tout de suite, j'étais en vacances. Quand on dit qu'une équation est résoluble par radicaux, cela signifie que l’on peut exprimer les racines à l'aide de radicaux(par convention de langage). On n’est pas sûr que ces radicaux soient effectivement calculables. C'est pour cela que les méthodes de calcul de radicaux que j’ai donné en début du présent chapitre ne marche pas à tous les coups. Il faut bien faire la distinction au niveau du langage entre une équation où il existe une méthode permettant de trouver ses racines sous forme de radicaux et une équation (du huitième degré par exemple) ou il n'existe aucune méthode permettant de calculer ses racines sous forme de radicaux. D'ailleurs, l’expression " résoluble par radicaux " comporte bien le terme "radicaux" et donc ne garantit pas qu'une équation comportant une racine entière sera résolue par une méthode de résolution par radicaux en retrouvant de façon claire la racine entière. Même si vous dites, par définition, qu'une équation est résoluble si l’on peut trouver ses racines sous la forme la plus simple possible (entière si l'équation a une racine entière), on peut toujours dire que l’on sait résoudre les équations du troisième degré même si les méthodes par radicaux ne sont pas capables de trouver les racines entières clairement. Tout simplement parce qu’il existe d’autre méthode pouvant le faire. La méthode de résolution par recherche de racines évidentes, même si vous là considéré comme non "noble", est tout de même une méthode de résolution (même si elle n’est pas par radicaux). Une équation du septième degré qui aurait sept racines entières peut être considérée comme résoluble sans être résoluble par radicaux. J’ai rajouté aussi un chapitre sur les résolutions trigonométriques qui, elles non plus, ne sont pas des méthodes de résolution par radicaux, et qui peuvent trouver des racines sous forme simples alors que la résolution par radicaux donne des formes horribles. Je vous préciserais aussi que, en mathématiques, on utilise un langage défini stritement. Le terme "résoluble" a une définition particulière (voir plus précisément la théorie de Galois) et le problème vient souvent que le grand public, ne connaissant pas ces définitions strictes, interprète certaine affirmation mathématique en les transposant dans le langage courant et cela donne certaines disputes philosophiques du style "peut-on dire que l’on sait vraiment résoudre les équations de degré 0 à quatre si l’on ne sait pas retrouver les racines sous une forme qui nous serait agréable". J'espère avoir répondu au mieux à votre question et je me demande s'il ne serait pas souhaitable d'inclure ce que je viens de vous dire dans le cours.

Vous me demandez aussi si la démonstration sur les solutions entières est consultable et qui en est l'auteur. Je ne comprends pas de quelle démonstration vous parlez. Pouvez vous éventuellement me préciser ? --Lydie Noria 18 août 2010 à 08:17 (UTC)

Bonjour. Merci beaucoup pour votre éclaircissement. Donc si j’ai bien compris, face à telle ou telle équation, on peut dire qu'on sait la résoudre de telle(s) manière(s) avec les avantages et les inconvénient qu'elle(s) (a/ont) (radicaux, racines évidentes, trigo, en pouvant simplifier au maximum...) ou on ne sait pas la résoudre de toute façon. Sinon, la démonstration dont je parle est celle évoquée par votre phrase "Les mathématiciens ont montré que d'une façon générale, il est impossible de trouver une méthode de résolution qui permettrait de trouver une solution entière dans une équation du troisième degré sans passer à un moment ou à un autre par une recherche de racines évidentes." i.e. que la méthode générale de résolution par radicaux de l'équation du 3° degré ne permet pas en général de déterminer comme telles des solutions entières ou rationnelles. Désolé pour mon imprécision. Peut-être que cette affirmation se base sur les travaux de plusieurs mathématiciens... En vous remerciant encore. 90.18.167.246 22 août 2010 à 18:13 (UTC)

"Les mathématiciens ont montré que d'une façon générale, il est impossible de trouver une méthode de résolution qui permettrait de trouver une solution entière dans une équation du troisième degré sans passer à un moment ou à un autre par une recherche de racines évidentes."

J’ai effectivement dit cela un peu plus haut dans cette page de discussion, mais je l'ai dit de mémoire et je serais bien incapable de vous donner des références ou le nom de mathématiciens ayant étudié la question. Cela fait partie des connaissances que j’ai sans trop savoir dans quel bouquin, je l'ai lu. Vous me mettez le doute. Peu être ai-je été trop affirmative ! J’ai un peu étudié la théorie de Galois, il y a un certains nombre d'années à la fac. Je sais qu’il n’est pas possible de résoudre une équation ayant trois racines réelles sans passer par les nombres complexes et à partir de cela, on doit pouvoir montrer à partir d'un raisonnement par l'absurde qu’il n’est pas possible de résoudre de façon générale une équation par radicaux en trouvant les racines entières sous forme entière. J’ai réussi à me convaincre de cela, car j’ai essayé, sans succès, moi aussi, de trouver une méthode par radicaux qui marcherait. --Lydie Noria 23 août 2010 à 14:55 (UTC)

Bonjour. Dans la méthode d'extraction des racines cubiques, vous donnez une relation donnant y, la partie imaginaire de la racine cubique, en fonction de x, la partie réelle. Est-il possible de trouver cette fois x en fonction de y : si on connait la partie imaginaire d'une racine cubique, peut-on calculer la réelle ? (ce n’est pas une question en l'air, c’est dans le but de simplifier une expression).

Cordialement. 90.7.57.64 26 août 2010 à 07:02 (UTC)

Si vous connaissez la partie imaginaire y, vous pouvez trouver la partie réelle x grâce à la formule :

$x={\frac {3ay}{b-8y^{3}}}~$

Cordialement.--Lydie Noria 26 août 2010 à 15:27 (UTC)

Et pour les équations de delta positif admettant une seule racine réelle évidente rationnelle, est-ce que la méthode de Cardan et/ou Sotta permettra de l'expliciter comme telle à tous les coups ? Sur votre exemple dans le dernier chapitre récapitulatif des méthodes (racine évidente 2) c’est le cas et j’ai testé pour d'autres avec succès, mais existe t-il des contre-exemples avec des équations plus compliquées où l’on ne pourrait pas simplifier les radicaux ? Merci beaucoup encore pour votre aide précieuse ! 90.18.152.66 12 septembre 2010 à 12:10 (UTC)

J’ai noté votre question, mais je vous demande un délai pour y répondre. Je vais essayer de faire une étude statistique pour voir ce qu’il en est. En principe, si vous prenez une équation ayant une racine rationnelle au hasard, il y a peu de chances qu'une méthode par radicaux retrouve la racine rationnelle de façon claire. J’ai eu l'impression que la méthode de Cardan et la méthode de Sotta, pour une même équation, étaient capables de retrouver toutes les deux la racine rationnelle ou n'étais pas capable de la retrouver toutes les deux. Mais je n'ai pas suffisamment d'exemples pour être affirmatif. J’ai personnellement l'impression que la méthode de Sotta a plus de chance que la méthode de Cardan de retrouver la racine rationnelle car les racines cubiques se retrouvent à la fois au numérateur et au dénominateur et ont par conséquent une chance de se simplifier si elles sont égales, mais ce n'est qu'une opinion. J’ai l'impression que cela dépend aussi du fait que le discriminant soit ou non un carré parfais (positif ou négatif). Je vais faire des recherches et étudier la question. J'espère vous donner une réponse plus précise d'ici 4 à 5 jours. À très bientôt. --Lydie Noria 12 septembre 2010 à 15:02 (UTC)

Me revoila ! J’ai un peu étudier la question et je pense être en mesure de vous donner une réponse plus précise. J’ai résolue une trentaine d'équations ayant une racine rationnelle en utilisant pour chaque équation la méthode de Cardan et la méthode de Sotta. Une première constatation est que pour chaque équation que j’ai résolue, soit les deux méthodes trouvaitent la racine rationnelle sous sa forme n/d soit aucune des deux n'y arrivaient.

Pour chaque équation, je suis parti de la forme (mx-n)(ax^2+bx+c) = 0 En prenant pour m, n, a, b, c , des nombres à un chiffre.

Si le discriminant est positif, il est très dur de trouver des équations ou les deux méthodes trouvent la racine sous la forme n/m. Je pense pouvoir affirmer que le seul cas ou cela se produit est quand l'une des racines est la moyenne arithmétique des deux autres (voir exercice 6-5).

Si le discriminant est négatif, les choses sont plus favorables. Les méthodes marchent dans environ 30% des cas, mais j’ai eu la nette impression qu'au plus les nombres choisis étaient élevés, au plus ce pourcentage avait tendance à baisser. j’ai essayer de comprendre pourquoi dans certain cas cela marchait ou pas. On constate que les racines cubiques apparaissant dans les résultas sont de la forme :

${\sqrt[{3}]{w+{\sqrt {k}}}}\quad {\sqrt[{3}]{w-{\sqrt {k}}}}~$

et il y aura simplification si w ou k est nul.

Un calcul montre que w est nul si :

$2b^{3}-9abc+27a^{2}d=0~$

k sera nul si -3Δ est le carré d'un entier.

Chacune des deux conditions ci-dessus me semble donc être une condition suffisante(mais non nécessaire) pour que les deux méthodes retrouvent la racine rationnelle sous la forme n/m.

Vous m'avez aussi demandé des exemples qui ne marchent pas. ça s'est facile à trouver ! En voici deux :

$2x^{3}+7x^{2}+10x+6=0~$

qui a pour racine -3/2. Vous avez aussi :

$2x^{3}+x^{2}+x+2=0~$

qui a pour racine -1.

Je suis même très étonnée que tous les exemples que vous avez essayé, marchaient.

Si vous le pouvez, essayer de voir si chacun de vos exemples vérifaient bien l'une des deux conditions que j’ai donné ci-dessus. Si vous avez un exemple qui marche sans vérifier l'une des deux conditions ci-dessus ou simplement un exemple qui marche avec un discriminant positif sans véridier la condition :

$6abc-2b^{3}-6a^{2}d-21ad+3bc=0\qquad (*)~$

qui indique que l'une des racine est la moyenne arithmétique des deux autres, faîte moi le savoir. Je vous en serais reconnaissante et j'essayerais de comprendre pourquoi cela marche sur cet exemple. J'espère avoir répondu à votre question. Très cordialement. --Lydie Noria 14 septembre 2010 à 14:03 (UTC)

En fait je n’avais étudié que 3 équations, ce qui est très insuffisant pour faire une étude statistique fiable. Cela dit, toutes vérifiait une des conditions (pour 2, k était nul est pour la dernière c’était w). Donc si j’ai bien compris ce n’est pas tant l’existence de complexes sous la racine cubique (quand delta est négatif) qui empêche la simplification, mais généralement par l'imbriquation de la racine carrée du discriminant sous la racine cubique. De mon côté, je pense avoir trouvé une méthode de résolution permettant d'éliminer à coup sûr les racines cubiques complexes sans utiliser la méthode de simplification des racines car elle ne marche pas à tous les coups (si le discriminant de :$64x^{9}-48ax^{6}+(15a^{2}-27b^{2})x^{3}-a^{3}=0$ est négatif alors les trois solutions sont réelles mais il faut encore déterminer des racines cubiques de complexes pour les trouver : cycle infernal : le serpent se mange la queue !) . J'espérais qu'en appliquant la nouvelle méthode pour retrouver des solutions rationnelles la simplification des complexes permettrait de les montrer telles quelles mais il reste encore des racines cubiques de nombres quadratiques réels à l'arrivée non simplifiables... Si toutes les équations à delta positif avaient permi de retrouver les rationnels non déguisées, peut-être que, s'il était possible de trouver pour une équation à delta négatif une équation associée à delta positif permettant après l'avoir résolue de retrouver les solutions cherchées (simple supposition, il n'est peut-être tout bonnement pas possible d'opérer ce changement d'équation), le cas négatif aurait été traité, d'où l'intêret de ma question, à laquelle je vous remercie beaucoup d’avoir répondu par cette expérimentation mathématique. Il semble donc effectivement impossible d'expliciter les solutions rationnelles d'une équation du 3° degré dans le cas général par radicaux à ce stade... Merci encore d’avoir étudié ma question.

195.6.234.195 16 septembre 2010 à 19:25 (UTC)

Ce que vous avez fait, je l'ai fait et des tas de mathématiciens l’on fait sans résultat depuis plusieurs centaines d'années. Les mathématiques se défendent bien. Quand ça veut pas, ça veut pas! Bonne chance !--Lydie Noria 17 septembre 2010 à 17:52 (UTC)

Bonjour. Existe-t-il une formule générale donnant les racines cubiques d'un nombre complexe a+ib sous forme algébrique ? Comme pour le second degré. Cordialement.90.18.28.43 23 octobre 2010 à 11:03 (UTC)

On pourrait fabriquer une formule donnant directement les racines cubiques en fonction de a et b. Cette formule serait compliqué et je n'y voit pas grand intérêt. La méthode que j’ai donné permet de détecter les racines cubiques quand celle-ci s'expriment sous la forme x + iy axec x et y sous forme de fraction rationnelle. Si on donne x et y à l'aide de racines cubiques, on n’est pas plus avancé ! Bien cordialement. --Lydie Noria 25 octobre 2010 à 09:05 (UTC)